如圖，在△ABC中，∠C=90^°，D、E、F分別為AB，BC，AC上的中點(diǎn)，求證：CD=EF.

我們把由不平行于底邊的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準(zhǔn)等腰梯形”。如圖1，四邊形ABCD即為“準(zhǔn)等腰梯形”。其中∠B=∠C。

（1）在圖1所示的“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中，選擇合適的一個(gè)頂點(diǎn)引一條直線將四邊形ABCD分割成一個(gè)等腰梯形和一個(gè)三角形或分割成一個(gè)等腰三角形和一個(gè)梯形（畫出一種示意圖即可）。
（2）如圖2，在“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中，∠B=∠C，E為邊BC上一點(diǎn)，若AB∥DE，AE∥DC，求證：

（3）在由不平行于BC的直線截ΔPBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD與∠ADC的平分線交于點(diǎn)E，若EB=EC，請(qǐng)問當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)（即圖3所示情形），四邊形ABCD是不是“準(zhǔn)等腰梯形”，為什么？若點(diǎn)E不在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)，情況又將如何？寫出你的結(jié)論（不必說明理由）

如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使DC=CB，延長(zhǎng)DA
與⊙O的另一個(gè)交點(diǎn)為E，連結(jié)AC，CE。

（1）求證：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的長(zhǎng)。

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB，于點(diǎn)E

（1）求證：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的長(zhǎng)。

如果三角形有一邊上的中線長(zhǎng)恰好等于這邊的長(zhǎng)，那么稱這個(gè)三角形為“好玩三角形”

（1）請(qǐng)用直尺與圓規(guī)畫一個(gè)“好玩三角形”；
（2）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，，求證：△ABC是“好玩三角形”；
（3）如圖2，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a, ∠ABC=2β，點(diǎn)P，Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，以相同的速度分別沿折線AB－BC和AD－DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)P所經(jīng)過的路程為s
①當(dāng)β=45°時(shí)，若△APQ是“好玩三角形”，試求的值；
②當(dāng)tanβ的取值在什么范圍內(nèi)，點(diǎn)P，Q在運(yùn)動(dòng)過程中，有且只有一個(gè)△APQ能成為“好玩三角形”？請(qǐng)直接寫出tanβ的取值范圍。
（4）本小題為選做題
依據(jù)（3）中的條件，提出一個(gè)關(guān)于“在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過程中，tanβ的取值范圍與△APQ是“好玩三角形”的個(gè)數(shù)關(guān)系”的真命題（“好玩三角形”的個(gè)數(shù)限定不能為1）。

在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，EC與AD交于點(diǎn)G，點(diǎn)F在BC上．

（1）如圖1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求證：EF=CD．
（2）如圖2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．

若一個(gè)矩形的一邊是另一邊的兩倍，則稱這個(gè)矩形為方形，如圖1，矩形ABCD中，BC=2AB，則稱ABCD為方形．

（1）設(shè)a，b是方形的一組鄰邊長(zhǎng)，寫出a，b的值（一組即可）．
（2）在△ABC中，將AB，AC分別五等分，連結(jié)兩邊對(duì)應(yīng)的等分點(diǎn)，以這些連結(jié)為一邊作矩形，使這些矩形的邊B₁C₁，B₂C₂，B₃C₃，B₄C₄的對(duì)邊分別在B₂C₂，B₃C₃，B₄C₄，BC上，如圖2所示．
①若BC=25，BC邊上的高為20，判斷以B₁C₁為一邊的矩形是不是方形？為什么？
②若以B₃C₃為一邊的矩形為方形，求BC與BC邊上的高之比．

【提出問題】
（1）如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結(jié)CN．求證：∠ABC=∠ACN．
【類比探究】
（2）如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），其它條件不變，（1）中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請(qǐng)說明理由．
【拓展延伸】
（3）如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結(jié)CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別是E、F，并且DE=DF．求證：

（1）△ADE≌△CDF；
（2）四邊形ABCD是菱形．

為了改善市民的生活環(huán)境，我是在某河濱空地處修建一個(gè)如圖所示的休閑文化廣場(chǎng).在Rt△ABC內(nèi)修建矩形水池DEFG，使頂點(diǎn)D、E在斜邊AB上，F(xiàn)、G分別在直角邊BC、AC上；又分別以AB、BC、AC為直徑作半圓，它們交出兩彎新月（圖中陰影部分），兩彎新月部分栽植花草；其余空地鋪設(shè)地磚.其中米，∠BAC=60⁰.設(shè)EF=x米，DE=y米.

（1）求y與x之間的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，矩形DEFG的面積最大？最大面積是多少？
（3）求兩彎新月（圖中陰影部分）的面積，并求當(dāng)x為何值時(shí)，矩形DEFG的面積等于兩彎新月面積的？