Question

如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直角梯形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA＝AB＝2，OC＝3，過點(diǎn)B作BD⊥BC，交OA于點(diǎn)D．將∠DBC繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸于點(diǎn)E和F．

【小題1】（1）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
【小題2】（2）當(dāng)BE經(jīng)過（1）中拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，求CF的長；
【小題3】（3）在拋物線的對稱軸上取兩點(diǎn)P、Q（點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方），且PQ＝1，要使四邊形BCPQ的周長最小，求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【小題1】（1）由題意得A（0，2）、B（2，2）、C（3，0）.
設(shè)經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+2.
則
解得
∴ ．
【小題2】（2）由＝．
∴ 頂點(diǎn)坐標(biāo)為G（1，）．
過G作GH⊥AB，垂足為H．
則AH＝BH＝1，GH＝－2＝．
∵ EA⊥AB，GH⊥AB，
∴ EA∥GH．
∴GH是△BEA的中位線 ．
∴EA＝3GH＝．
過B作BM⊥OC，垂足為M．
則MB＝OA＝AB．
∵ ∠EBF＝∠ABM＝90°，
∴ ∠EBA＝∠FBM＝90^°－∠ABF．
∴ R t△EBA≌R t△FBM．
∴ FM＝EA＝．
∵ CM＝OC－OM＝3－2＝1，
∴ CF＝FM＋CM＝．……………5分
【小題3】（3）要使四邊形BCGH的周長最小，可將點(diǎn)C向上
平移一個(gè)單位，再做關(guān)于對稱軸對稱的對稱點(diǎn)C₁，
得點(diǎn)C₁的坐標(biāo)為（－1，1）．
可求出直線BC₁的解析式為．
直線與對稱軸x＝1的交點(diǎn)即為點(diǎn)H，坐標(biāo)為（1，）．
點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，）

解析