Question

（2013•鄭州模擬）如圖，拋物線y=ax2+bx+

5

2

與直線AB交于點(diǎn)A（-1，0），B（4，

5

2

）．點(diǎn)D是拋物線A，B兩點(diǎn)間部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），直線CD與y軸平行，交直線AB于點(diǎn)C，連接AD，BD．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，△ADB的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)S取最大值時(shí)的點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能使以點(diǎn)P，Q，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式列出關(guān)于a、b的方程組，通過解方程組即可求得系數(shù)a、b的值；
（2）如圖1，過點(diǎn)B作BF⊥DE于點(diǎn)F．則S=

1

2

CD•（AE+BF）=-

5

4

（m-

3

2

）²+

125

4

，所以當(dāng)m=

3

2

時(shí)，S取最大值

125

4

；
（3）需要分類討論：①如圖2，當(dāng)PQ∥DC，PQ=DC時(shí)．②如圖3，當(dāng)CD∥PQ，且CD=PQ時(shí)．③如圖4，當(dāng)PC∥DQ，且PC=DQ時(shí)．
分別求得這三種情況下的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+

5

2

與直線AB交于點(diǎn)A（-1，0），B（4，

5

2

）．
∴

0=a-b+ 5 2 5 2 =16a+4b+ 5 2

，
解得，

a=- 1 2 b=2

，
∴拋物線的解析式是y=-

1

2

x²+2x+

5

2

（2）如圖1，過點(diǎn)B作BF⊥DE于點(diǎn)F．
∵點(diǎn)A（-1，0），B（4，

5

2

），
∴易求直線AB的解析式為：y=

1

2

x+

1

2

．
又∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（m，

1

2

m+

1

2

），點(diǎn)D的縱坐標(biāo)是（-

1

2

m²+2m+

5

2

）
∴AE=m+1，BF=4-m，CD=-

1

2

m²+

3

2

m+2，
∴S=

1

2

CD•（AE+BF）=

1

2

×（-

1

2

m²+

3

2

m+2）×（m+1+4-m）=-

5

4

（m-

3

2

）²+

125

4

（-1＜m＜4）．
∴當(dāng)m=

3

2

時(shí)，S取最大值

125

4

，此時(shí)C（

3

2

，

5

4

）；

（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P、Q使以點(diǎn)P，Q，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．
∵點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，
∴D（2，

9

2

），C（2，

3

2

）．
①如圖2，當(dāng)PQ∥DC，PQ=DC時(shí)．
設(shè)P（x，-

1

2

x²+2x+

5

2

），則Q（x，

1

2

x+

1

2

），
∴-

1

2

x²+2x+

5

2

-

1

2

x-

1

2

=3，
解得，x=1或x=2（舍去），
∴Q（1，1）；
②如圖3，當(dāng)CD∥PQ，且CD=PQ時(shí)．
設(shè)P（x，-

1

2

x²+2x+

5

2

），則Q（x，

1

2

x+

1

2

），
∴

1

2

x+

1

2

+

1

2

x²-2x-

5

2

=3，
解得，x=5或x=-2，
∴Q（5，3）、Q′（-2，-

1

2

）；
③如圖4，當(dāng)PC∥DQ，且PC=DQ時(shí)．
過點(diǎn)P作PE⊥CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)Q作QF⊥CD于點(diǎn)F．則PE=QF，DE=FC．
設(shè)P（x，-

1

2

x²+2x+

5

2

），則E（2，-

1

2

x²+2x+

5

2

），
∴Q（4-x，

5

2

-

1

2

x），F(xiàn)（2，

5

2

-

1

2

x），
∴由DE=CF得，

9

2

-（-

1

2

x²+2x+

5

2

）=

5

2

-

1

2

x-

3

2

，
解得，x=1或x=2（舍去），
∴Q（3，2）
綜上所述，符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)有：（1，1）、（5，3）、（-2，-

1

2

）、（3，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題．其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，拋物線的性質(zhì)以及最值的求解方法．解答（3）題時(shí)要分類討論．