Question

如圖，點C為圓上一點，⊙O直徑AB為10cm，∠ACB的平分線交⊙O于D．
（1）若弦AC為6cm，求BC、AD的長．
（2）當(dāng)點C在⊙O上運動時，試判斷點D是否隨著點C的變化而變化？若改變，設(shè)AC=x，AD=y，請建立y與x的關(guān)系式；若不變，請說明理由．

Answer 1

考點：圓周角定理,勾股定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系

專題：綜合題

分析：（1）連接OD，由AB是⊙O的直徑得∠ACB=90°，然后運用勾股定理就可求出BC長；根據(jù)圓周角定理可得∠AOD=2∠ACD=90°，在Rt△AOD中運用勾股定理就可求出AD長．
（2）在（1）中已證到∠AOD=∠BOD=90°，根據(jù)“在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等”可得

AD

=

BD

，即可解決問題．

解答：解：（1）連接OD，如圖所示．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵AB=10，AC=6，
∴BC=8．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=

1

2

∠ACB=45°．
∴∠AOD=2∠ACD=90°，∠BOD=2∠BCD=90°．
在Rt△AOD中，
AD=

AO2+OD2

=

52+52

=5

2

．
∴BC的長為8cm、AD的長為5

2

cm．

（2）當(dāng)點C在上半圓上運動時，點D不變，在下半圓的中點．
理由如下：
∵∠AOD=∠BOD=90°（已證），
∴

AD

=

BD

．
∴點D是下半圓的中點．

點評：本題考查了圓周角定理、勾股定理、圓心角與圓弧的關(guān)系、角平分線的定義等知識，屬于基礎(chǔ)題．