Question

已知：如圖，EB是⊙O的直徑，且EB=6．在BE的延長線上取點P，使EP=EB．A是EP上一點，過A作⊙O的切線AD，切點為D．過D作DF⊥AB于F，過B作AD的垂線BH，交AD的延長線于H．連接ED和FH．
（1）若AE=2，求AD的長；
（2）當點A在EP上移動（點A不與點E重合）時，
①是否總有？試證明你的結論；
②設ED=x，BH=y，求y與x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵AD切⊙O于D，AE=2，EB=6，
∴AD²=AE•AB=2×（2+6）=16．
∴AD=4．

（2）①無論點A在EP上怎么移動（點A不與點E重合），
總有
證明：連接DB，交FH于G．
∵AH是⊙O的切線，∴∠HDB=∠DEB．
又∵BH⊥AH，BE為直徑，
∴∠BDE=90°．
有∠DBE=90°-∠DEB=90°-∠HDB=∠DBH．
在△DFB和△DHB中，
DF⊥AB，∠DFB=∠DHB=90°，
DB=DB，∠DBE=∠DBH，
∴△DFB≌△DHB．
∴BH=BF．∴△BHF是等腰三角形．
∴BG⊥FH，即BD⊥FH．
∴ED∥FH，∴
②∵ED=x，BH=y，BE=6，BF=BH，
∴EF=6-y，
又∵DF是Rt△BDE斜邊上的高，
∴△DFE∽△BDE，
∴
即ED²=EF•EB．
∴x²=6（6-y）即y=-x²+6
∴ED=x＞0，
當A從E向左移動，ED逐漸增大，
當A和P重合時，ED最大，
這時，連接OD，則OD⊥PH，
∴OD∥BH．
又PO=PE+EO=6+3=9，PB=12，
，BH=
∴BF=BH=4，EF=EB-BF=6-4=2．
由ED²=EF•EB，得：x²=2×6=12，
∵x＞0，∴x=2，
∴0＜x≤2，
[或由BH=4=y，代入y=-x²+6中，得x=2]
故所求函數(shù)關系式為y=-x²+6（0＜x≤2）．
分析：（1）由于AD是⊙O的切線，并且已知AE、BE的長，即可由切割線定理求得AD的長．
（2）①欲證所求的比例式，只需證得DE∥FH即可．連接BD，設BD與FH的交點為G，由于HD切⊙O于D，根據(jù)弦切角定理知∠HDB=∠DEB，在Rt△DEB中，易證得∠DEB=∠FDB，則∠FDB=∠HDB，即可證得△DFB≌△DHB，由此可得BH=BF，即△BFH是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質可證得BD⊥FH，而BD⊥DE，則FH∥DE，由此得證．
②由于BH=BF，根據(jù)EB的長，可用y表示出EF的值，進而在Rt△DEB中，根據(jù)射影定理得到y(tǒng)、x的函數(shù)關系式；求x的取值范圍時，只需考慮x的最大值即可，當A、P重合時，若連接OD，則OD⊥PH，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可求得BH的長，進而可得到BF、EF的值，然后根據(jù)射影定理即可求得DE的長，由此求得x的取值范圍．
點評：此題主要考查了切線的性質、弦切角定理、全等三角形及相似三角形的判定和性質、平行線的判定等知識；（2）①中，能夠構造出與所求相關的全等三角形是解決問題的關鍵．