Question

如圖，AB為半圓的直徑，O為圓心，AB=6，延長BA到F，使FA=AB，若P為線段AF上的一個動點（不與A重合），過P點作半圓的切線，切點為C，過B點作BE⊥PC交PC的延長線于E，設AC=x，AC+BE=y，求y與x的函數關系式及x的取值范圍．

Answer 1

分析：求y與x的函數關系式，由題意發(fā)現需求出BE，通過證明Rt△ABC∽Rt△CBE即可；P為線段AF上的一個動點（不與A重合），C為切點，可知當P點與A點重合時，AC=0最小，當P點與F點重合時，x=AC最大，求出AC的值，即可確定x的取值范圍．

解答：解：連接BC．
∵AB是⊙O的直徑∴∠ACB=90°，BC²=36-x²（2分）
又∵PC切⊙O于C∴∠BAC=∠BCE
∴Rt△ABC∽Rt△CBE（3分）
∴

AB

BC

=

BC

BE

即BE=

BC2

AB

=6-

x2

6

∴y=-

x2

6

+x+6（5分）
當P點與A點重合時，AC=0最小
∵P不與A重合，
∴x＞0（6分）
當P點與F點重合時，x=AC最大，此時有PC²=PA•PB=6×12
∴PC=6

2

又∵∠P=∠P，∠PBC=∠PCA
∴△PCA∽△PBC
∴

AC

CB

=

PC

PB

即

AC

BC

=

6 2

12

∴BC=

2

AC
由勾股定理得AC²+BC²=AB²，
即AC2+(

2

AC)2=36
∴AC=2

3

（9分）
∴函數關系式為y=-

x2

6

+x+6（0＜x≤2

3

）（10分）．

點評：本題考查求二次函數的關系式及取值范圍，注意結合切線的性質，相似三角形的判斷和性質探求解決的方法．