Question

以AB為直徑作一個(gè)半圓，圓心為O，C是半圓上一點(diǎn)，且OC²=AC•BC，則∠CAB為多少？

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得到直角三角形，然后過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，得到兩直角三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊的比相等，得到直角三角形中邊的關(guān)系，可以求出∠COD的度數(shù)，然后運(yùn)用三角形的外角的性質(zhì)可以求出∠CAB的度數(shù)．
解答：解：如圖1：
過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，
∵AB是半⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC∽△CBD，
∴=，得：BC•AC=AB•CD，
又OC²=BC•AC，
∴OC²=AB•CD，
∵AB=2OC，
∴OC=2CD，
∴∠COD=30°，
∴∠CAB=15°．
同理，當(dāng)如圖2所示時(shí)，
∠CBA=15°，則∠CAB=90°-15°=75°．
故答案為：15°或75°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)直角三角形斜邊上的高分直角三角形所得的兩個(gè)直角三角形與原來(lái)的三角形相似，可以得到兩個(gè)相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算求出角的度數(shù)．