Question

3．如圖，取點A（0，-1）作等邊三角形AOB（點B在第四象限），點C是x軸上一動點，作等邊三角形BCD，當(dāng)點D恰好落在拋物線y=$\frac{1}{2}$x²上時，點D的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$+1，2+$\sqrt{3}$），（$\sqrt{3}-1$，2-$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 連接AD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出OB=AB，BD=BC，∠ABO=∠DBC=60°，進而求得∠OBC=∠ABD，根據(jù)SAS證得△OBC≌△ABD，得出∠BAD=∠BOC=30°，即可證得直線AD的斜率為$\sqrt{3}$，即可得出直線AD的解析式，聯(lián)立方程即可求得D的坐標(biāo)．

解答 解：連接AD，
∵△AOB和△CBD是等邊三角形，
∴OB=AB，BD=BC，∠ABO=∠DBC=60°，
∴∠ABO+∠OBD=∠DBC+∠OBD，
即∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=AB}\\{∠OBC=∠ABD}\\{BC=BD}\end{array}\right.$
∴△OBC≌△ABD（SAS），
∴∠BAD=∠BOC，
∵∠AOB=60°，
∴∠BOC=30°，
∴∠BAD=30°
∴∠OAD=30°
∴直線AD的斜率為$\sqrt{3}$，
∴直線AD的解析式為y=$\sqrt{3}$x-1，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x-1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+1}\\{y=2+\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}-1}\\{y=2-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴D（$\sqrt{3}$+1，2+$\sqrt{3}$），（$\sqrt{3}-1$，2-$\sqrt{3}$）
故答案為（$\sqrt{3}$+1，2+$\sqrt{3}$），（$\sqrt{3}-1$，2-$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，求得直線AD的解析式是解題的關(guān)鍵．