Question

如圖1，已知兩個反比例函數y1=

k1

x

和y2=

k2

x

（k₁＞k₂＞0）在平面直角坐標系xOy第一象限內的圖象如圖所示，動點A在y1=

k1

x

的圖象上，AB∥y軸，與y2=

k2

x

的圖象交于點B，AC、BD都與x軸平行，分別與y2=

k2

x

、y1=

k1

x

的圖象交于點C、D．
（1）用含k₁、k₂的代數式表示四邊形ACOB的面積．
（2）當k₁=8，k₂=2時，
①若點A橫坐標為2，求梯形ACBD的對角線的交點F的坐標；
②將y2=

k2

x

沿x軸翻折得到y3=

k3

x

，動點N在y₃上，若∠AON=90°，求

AO

ON

的值．

Answer 1

分析：（1）直接根據反比例函數系數k的幾何意義進行解答即可；
（2）①首先根據點A的橫坐標和雙曲線的解析式，可以分別求得點A、B、C、D四個點的坐標．根據點C、D的坐標可以運用待定系數法求得直線CD的解析式，根據題意，得點F的橫坐標是2，再進一步把x=2代入直線CD的解析式即可求得點F的縱坐標；
②先根據關于x軸對稱的點的坐標特點求出反比例函數y3=

k3

x

的解析式，設出N點坐標，根據互相垂直的兩條直線的關系求出N點坐標，再根據勾股定理求出AO及ON的長，故可得出結論．

解答：解：（1）∵點A、B分別在反比例函數y₁=

k1

x

，y₂=

k2

x

，的圖象上，AG⊥x軸，AH⊥y軸，
∴S_矩形AHOG=k₁，S_△HOC=S_△BOG=

k2

2

∴S_{四邊形ACOB}=S_矩形AHOG-（S_△HOC+S_△BOG=）=k₁-2×

k2

2

=k₁-k₂；

（2）①由題可知，當點A的橫坐標為2時，點A、B、C、D的坐標分別為A（2，4），B（2，1），C（

1

2

，4），D（8，1）．
∵設直線CD的解析式為y=kx+b，
∴

1 2 k+b=4 8k+b=1

，解得

k=- 2 5 b= 21 5

，
∴直線CD的解析式為y=-

2

5

x+

21

5

，
∵AB∥y軸，F(xiàn)為梯形ACBD的對角線的交點，
∴x=2時，y=（-

2

5

）×2+

21

5

=

17

5

∴點F的坐標為（2，

17

5

）
②∵反比例函數y2=

k2

x

與y3=

k3

x

關于x軸對稱，
∴反比例函y3=

k3

x

的解析式為y=-

2

x

，
∵點N在反比例函數y=-

2

x

的圖象上，
∴設N（x，-

2

x

）（x＞0），
∵∠AON=90°，由①知A（2，4），
∴

4

2

×（-

2 x

x

）=-1，解得x=2或x=-2（舍去），
∴N（2，-1），
∴ON=

22+12

=

5

，AO=

22+42

=2

5

，
∴

AO

ON

=

2 5

5

=2．

點評：本題考查的是反比例函數綜合題，涉及到反比例函數系數k的幾何意義、用待定系數法求一次函數函數的解析式及關于x軸對稱的點的坐標特點，涉及面較廣，難度適中．