如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=16cm,AB=12cm,BC=21cm,動點P從點B出發(fā),沿射線BC的方向以每秒2cm的速度運動,動點Q從點A出發(fā),在線段AD上以每秒1cm的速度向點D運動,點P,Q分別從點B,A同時出發(fā),當點Q運動到點D時,點P隨之停止運動,設(shè)運動的時間為t(秒).

(1)當t為何值時,四邊形PQDC是平行四邊形.

(2)當t為何值時,以C,D,Q,P為頂點的梯形面積等于60cm2?

(3)是否存在點P,使△PQD是等腰三角形?若存在,請求出所有滿足要求的t的值,若不存在,請說明理由.

 

【答案】

(1)∵四邊形PQDC是平行四邊形

∴DQ=CP

∵DQ=AD-AQ=16-t,CP=21-2t

∴16-t=21-2t

 解得 t=5

當 t=5秒時,四邊形PQDC是平行四邊形

…………(4分)

   (2)若點P,Q在BC,AD上時

 

 
         即

        解得t=9(秒)  …………(2分)

        若點P在BC延長線上時,則CP=2t-21,

        解得 t=15(秒)

  ∴當t=9或15秒時,以C,D,Q,P為頂點的梯形面積等(2分)

  (3)當PQ=PD時

     作PH⊥AD于H,則HQ=HD

     ∵QH=HD=QD=(16-t)

     由AH=BP得 

     解得秒  …………(2分)

     當PQ=QD時  QH=AH-AQ=BP-AQ=2t-t=t, QD=16-t

     ∵QD2= PQ2=122+t2

∴(16--t)2=122+t2  解得(秒) …………(2分)

     當QD=PD時  DH=AD -AH=AD-BP=16-2t

     ∵QD2=PD2=PH2+HD2=122+(16-2t)2

∴(16-t)2=122+(16-2t)2

即  3t2-32t+144=0

∵△<0

∴方程無實根

綜上可知,當秒或(秒)時, △BPQ是等腰三角形……(2分)

【解析】(1)由題意已知,AD∥BC,要使四邊形PQDC是平行四邊形,則只需要讓QD=PC即可,因為Q、P點的速度

已知,AD、BC的長度已知,要求時間,用時間=路程÷速度,即可求出時間;

(2)要使以C、D、Q、P為頂點的梯形面積等于60cm2,可以分為兩種情況,即點P、Q在BC、AD,點P在

BC延長線上,再利用梯形面積公式,即(QD+PC)×AB÷2=60,因為Q、P點的速度已知,AD、AB、

BC的長度已知,用t可分別表示QD、BC的長,即可求得時間t;

(3)使△PQD是等腰三角形,可分三種情況,即PQ=PD、PQ=QD、QD=PD;可利用等腰三角形及直角梯形的

性質(zhì),分別用t表達等腰三角形的兩腰長,再利用兩腰相等即可求得時間t.

 

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