Question

如圖，正方形ABCD中，AB=，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15度．
（1）求證：DF+BE=EF；
（2）求：∠EFC的度數(shù)；
（3）求：△AEF的面積．

Answer 1

解：（1）延長(zhǎng)EB至G，使BG=DF，連接AG，
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°，
∵BG=DF，
∴△ABG≌△ADF，
∴AG=AF，
∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，
∴∠FAE=∠GAE=45°，
∵AE=AE，
∴△FAE≌△GAE，
∴EF=EG=GB+BE=DF+BE；

（2）∵△AGE≌△AFE，
∴∠AFE=∠AGE=75°，
∵∠DFA=90°-∠DAF=75°，
∴∠EFC=180°-∠DFA-∠AFE=180°-75°-75°=30°，
∴∠EFC=30°．

（3）∵AB=BC=，∠BAE=30°，
∴BE=1，CE=-1，
∵∠EFC=30°，
∴CF=3-，
∴S_△CEF=CE•CF=2-3，
由（1）知，△ABG≌△ADF，△FAE≌△GAE，
∴S_△AEF=S_{正方形ABCD}-S_△ADF-S_△AEB-S_△CEF=S_{正方形ABCD}-S_△AEF-S_△CEF，
S_△AEF=S_{正方形ABCD}-S_△AEF-S_△CEF=3-．
分析：（1）延長(zhǎng)EB至G，使BG=DF，連接AG．利用正方形的性質(zhì)，證明△AGE≌△AFE，△FAE≌△GAE，得出DF+BE=EF；
（2）根據(jù)△AGE≌△AFE及角之間的關(guān)系從而求得∠EFC的度數(shù)；
（3）S_△AEF=S_{正方形ABCD}-S_△ADF-S_△AEB-S_△CEF=S_{正方形ABCD}-S_△AEF-S_△CEF，關(guān)鍵求S_△CEF．
點(diǎn)評(píng)：解答本題利用正方形的特殊性質(zhì)，通過證明三角形全等，得出線段間的關(guān)系，同時(shí)考查了三角函數(shù)的運(yùn)用，及組合圖形的面積計(jì)算．