Question

（2010•遵義）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，點O是斜邊AB上一點，以O為圓心的⊙O分別與AC，BC相切于點D，E．
（1）當AC=2時，求⊙O的半徑；
（2）設AC=x，⊙O的半徑為y，求y與x的函數(shù)關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，OE，由△ABC是直角三角形，以O為圓心的⊙O分別與AC，BC相切于點D，E，可知OD∥BC，在△ADO中，解得半徑．
（2）由題意可知，OD∥BC，∠AOD=∠B，則兩角正切值相等，進而列出關系式．
解答：解：（1）連接OE，OD，
在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，
∵AC=2，
∴BC=6；
∵以O為圓心的⊙O分別與AC，BC相切于點D，E，
∴四邊形OECD是正方形，
tan∠B=tan∠AOD===，解得OD=，
∴圓的半徑為；

（2）∵AC=x，BC=8-x，
在直角三角形ABC中，tanB==，
∵以O為圓心的⊙O分別與AC，BC相切于點D，E，
∴四邊形OECD是正方形．
tan∠AOD=tanB===，
解得y=-x²+x．
點評：本題主要考查切線的性質(zhì)和解三角形的相關知識點，不是很難．