Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的⊙O的半徑為，直線與坐標(biāo)軸分別交于A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,1)，⊙B與x軸相切于點(diǎn)M。

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及∠CAO的度數(shù)；

（2）⊙B以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸負(fù)方向平移，同時(shí)，若直線繞點(diǎn)A順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，當(dāng)⊙B第一次與⊙O相切時(shí)，直線也恰好與⊙B第一次相切，見(jiàn)圖（2）求B₁的坐標(biāo)以及直線AC繞點(diǎn)A每秒旋轉(zhuǎn)多少度？

（3）若直線不動(dòng)，⊙B沿x軸負(fù)方向平移過(guò)程中，能否與⊙O與直線同時(shí)相切。若相切，說(shuō)明理由。

 

 

 

Answer 1

【答案】

解： （1）A（，0）

         ∵  C（0，）.  ∴  OA=OC  ∵  OA⊥OC，  ∴∠CAO=45°            

 （2） 如圖，設(shè)⊙B平移t秒到⊙B₁處與⊙O第一次相切，此時(shí)，直線l旋轉(zhuǎn)到l¹恰好與⊙B₁ 第一次相切于點(diǎn)P，⊙B₁與x軸相切于點(diǎn)N，連接B₁O，B₁N.

則MN=t，O B₁= _， B₁N=1，B₁N⊥AN.

∴ON=1，∴MN=3，即t=3                                                

連接B₁A，B₁P，則B₁P⊥AP，B₁P= B₁N，∴∠PA B₁=∠NA B₁.

∵OA=O B₁=，∴∠A B₁O=∠NA B₁. ∴∠PA B₁＝∠A B₁O. ∴PA∥B₁O.

在Rt△NO B₁中，∠B₁ON＝45° ∴∠PAN＝45° ∴∠1＝90°.

∴直線AC繞點(diǎn)A平均每秒旋轉(zhuǎn)30°

（3）  能，設(shè)⊙B與⊙O第二次相切時(shí)⊙B的圓心為B₂，作B₂E⊥AC于E，

      作OH⊥AC于H，則四邊形B₂EHO為矩形，則B₂E=OH=1，故此時(shí)⊙B與直線同時(shí)相切。

【解析】（1）根據(jù)直線的解析式，易得AC的坐標(biāo)，進(jìn)而可得OA、OC的關(guān)系，由三角函數(shù)的定義可得∠CAO的大��；

（2）設(shè)相切時(shí)，MN=t，易得ON，MN的值，進(jìn)而可得∠AB1O=∠NAB1，故PA∥B1O；易得在Rt△NOB₁中，∠1=90°，即可得出答案；

（3）先假設(shè)能，且設(shè)⊙B與⊙O第二次相切時(shí)⊙B的圓心為B₂，作B₂E⊥AC于E．易得四邊形B₂EHO為平行四邊形，此時(shí)⊙B與直線l同時(shí)相切．