Question

畫一個(gè)邊長(zhǎng)為1的等邊三角形（如圖1），將它的邊長(zhǎng)三等分，各取中間的一段，并以此為邊分別在原三角形外作3個(gè)小等邊三角形，得圖2，稱為第一次分形．同樣地，把圖2中的6個(gè)小等邊三角形的每一邊三等分，以中間一段為邊向形外分別作12個(gè)更小的等邊三角形如圖3，稱為第二次分形，依上述方法不斷畫下去，這個(gè)圖形的外緣曲線越來越細(xì)，像一片美麗的雪花，所得圖形稱為雪花曲線：
問題：
（1）就對(duì)稱性而言，圖4是______圖形．
A、中心對(duì)稱圖形；B、軸對(duì)稱圖形；C、既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形．
（2）圖2的周長(zhǎng)是______．
（3）猜想第n次分形后所得圖形的周長(zhǎng)是______．
（4）猜想隨分形次數(shù)n的逐漸增大，所得圖形的面積將越來越接近于什么圖形的面積？

Answer 1

解：（1）根據(jù)圖形分形規(guī)律，其對(duì)稱性與原等邊三角形的對(duì)稱性相同．故選C．

（2）根據(jù)題意，邊長(zhǎng)為×4=，
∴周長(zhǎng)為×3=4；

（3）n次分形，邊長(zhǎng)變?yōu)樵瓉淼?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/418913.png' />，
∴周長(zhǎng)為3×（×1=3×（；

（4）原三角形外接圓的面積．
分析：（1）根據(jù)圖形變化規(guī)律，圖4仍然關(guān)于原三角形的對(duì)稱軸成軸對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱軸心成中心對(duì)稱；
（2）分形后，三角形的邊長(zhǎng)增加，變?yōu)樵瓉淼?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/304.png' />，再乘以3就是周長(zhǎng)；
（3）每一次分形后，邊長(zhǎng)都變?yōu)樵瓉淼?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/304.png' />，第n次分形后邊長(zhǎng)就變?yōu)樵瓉淼?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/418913.png' />倍，再乘以3就是周長(zhǎng)；
（4）n次分形后，圖2的頂點(diǎn)之間的空白逐漸被填充，所以其面積越來越接近于原三角形外接圓的面積．
點(diǎn)評(píng)：本題是信息給予題，讀懂題目信息并靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．