【題目】(本題10分)如圖,在△ABC中,AB=AC,以AC為直徑作⊙O交BC于點D,過點D作⊙O的切線,交AB于點E,交CA的延長線于點F.

(1)求證:FE⊥AB;

(2)當EF=6,=時,求DE的長.

【答案】1)見解析(2.

【解析】試題分析:(1)連接OD .根據(jù)EF⊙O相切.可得OD⊥EF,所以要證明FE⊥AB,只要證明OD∥AB即可;

2)首先利用sin∠CFD=,在Rt△AEF中,求出AF的長,然后利用△ODF∽△AEF.求出圓的半徑,再根據(jù)EB=AB-AE計算即可.

試題解析:(1)證明:連接OD . (如圖)

∵ OC=OD,

∴ ∠OCD="∠ODC."

∵ AB=AC,

∴∠ACB=∠B.

∴ ∠ODC=∠B.

∴ OD∥AB. 1

∴ ∠ODF =∠AEF.

∵ EF⊙O相切.

∴ OD⊥EF,∴ ∠ODF =90°.

∴∠AEF ="∠ODF" =90°.

∴ EF⊥AB. 2

2)解:由(1)知:OD∥AB,OD⊥EF .

Rt△AEF中,sin∠CFD ==,AE=6.

∴ AF=10. 3

∵ OD∥AB,

∴ △ODF∽△AEF.

.

.

解得r=. 4

∴ AB=" AC=2r" =.

∴ EB=ABAE=6=. 5

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