【題目】愛好思考的小茜在探究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí),發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”,即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.如圖(1)、圖(2)、圖(3)中,AM、BN是△ABC的中線,AM⊥BN于點(diǎn)P,像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”.設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.

【特例探究】

(1)如圖1,當(dāng)tan∠PAB=1,c=4時(shí),a=  ,b=  ;

如圖2,當(dāng)∠PAB=30°,c=2時(shí),a=  ,b=  ;

【歸納證明】

(2)請(qǐng)你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果,猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系,用等式表示出來,并利用圖3證明你的結(jié)論.

【拓展證明】

(3)如圖4,ABCD中,E、F分別是AD、BC的三等分點(diǎn),且AD=3AE,BC=3BF,連接AF、BE、CE,且BE⊥CE于E,AF與BE相交點(diǎn)G,AD=3,AB=3,求AF的長(zhǎng).

【答案】14,4,.(2a2+b2=5c2,理由見解析.(3)4.

【解析】試題分析:(1首先證明△APB△PEF都是等腰直角三角形,求出PAPB、PE、PF,再利用勾股定理即可解決問題.連接EF,在RT△PAB,RT△PEF中,利用30°性質(zhì)求出PA、PB、PEPF,再利用勾股定理即可解決問題.(2)結(jié)論a2+b2=5c2.設(shè)MP=x,NP=y,則AP=2x,BP=2y,利用勾股定理分別求出a2b2c2即可解決問題.(3)取AB中點(diǎn)H,連接FH并且延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線于P點(diǎn),首先證明△ABF是中垂三角形,利用(2)中結(jié)論列出方程即可解決問題.

試題解析:(1)解:如圖1中,∵CE=AECF=BF,

∴EF∥ABEF=AB=2,

∵tan∠PAB=1

∴∠PAB=∠PBA=∠PEF=∠PFE=45°,

∴PF=PE=2,PB=PA=4

∴AE=BF==2

∴b=AC=2AE=4,a=BC=4

如圖2中,連接EF,

,∵CE=AE,CF=BF

∴EF∥ABEF=AB=1

∵∠PAB=30°,

∴PB=1,PA=

RT△EFP中,∵∠EFP=∠PAB=30°,

∴PE=PF=,

∴AE==,BF==,

∴a=BC=2BF=,b=AC=2AE=,

2)結(jié)論

證明:如圖3中,連接EF

∵AFBE是中線,

∴EF∥AB,EF=AB,

∴△FPE∽△APB

==,

設(shè)FP=x,EP=y,則AP=2x,BP=2y

∴a2=BC2=4BF2=4FP2+BP2=4x2+16y2,

b2=AC2=4AE2=4PE2+AP2=4y2+16x2,

c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2,

∴a2+b2=20x2+20y2=54x2+4y2=5c2

3)解:如圖4中,在△AGE△FGB中,

,

∴△AGE≌△FGB,

∴BG=FG,取AB中點(diǎn)H,連接FH并且延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線于P點(diǎn),

同理可證△APH≌△BFH

∴AP=BF,PE=CF=2BF,

PE∥CF,PE=CF,

四邊形CEPF是平行四邊形,

∴FP∥CE,

∵BE⊥CE,

∴FP⊥BE,即FH⊥BG

∴△ABF是中垂三角形,

由(2)可知AB2+AF2=5BF2,

∵AB=3,BF=AD=,

∴9+AF2=5×2,

∴AF=4

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】三角形的三條中線的交點(diǎn)的位置為(  )

A.一定在三角形內(nèi)

B.一定在三角形外

C.可能在三角形內(nèi),也可能在三角形外

D.可能在三角形的一條邊上

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】“2015揚(yáng)州鑒真國際半程馬拉松”的賽事共有三項(xiàng):A、“半程馬拉松”、 B、“10公里”、C、“迷你馬拉松”。小明參加了該項(xiàng)賽事的志愿者服務(wù)工作, 組委會(huì)隨機(jī)將志愿者分配到三個(gè)項(xiàng)目組.

(1)小明被分配到“迷你馬拉松”項(xiàng)目組的概率為

(2)為估算本次賽事參加“迷你馬拉松”的人數(shù),小明對(duì)部分參賽選手作如下調(diào)查:

調(diào)查總?cè)藬?shù)

50

100

200

500

1000

參加“迷你馬拉松”人數(shù)

21

45

79

200

401

參加“迷你馬拉松”頻率

0.360

0.450

0.395

0.400

0.401

①請(qǐng)估算本次賽事參加“迷你馬拉松”人數(shù)的概率為 .(精確到0.1)

②若本次參賽選手大約有30000人,請(qǐng)你估計(jì)參加“迷你馬拉松”的人數(shù)是多少?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】一件工藝品進(jìn)價(jià)為100元,標(biāo)價(jià)135元售出,每天可售出100. 根據(jù)銷售統(tǒng)計(jì),一件工藝品每降價(jià)1元出售,則每天可多售出4件,要使每天獲得的利潤(rùn)最大,每件需降價(jià)的錢數(shù)為_______.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】一條開口向下的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,3),則這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)有(  )

A. 最大值3 B. 最小值3 C. 最大值2 D. 最小值-2

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列說法正確的是( 。

A. 不是正數(shù)的數(shù)一定是負(fù)數(shù)

B. 負(fù)數(shù)比0

C. 3b一定是正數(shù)

D. 0是正數(shù)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】七(3)班數(shù)學(xué)平均分為80分,80分以上如85分記作+5分,李小明同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?/span>78分,應(yīng)記作( 。

A. 2 B. 2 C. 7 D. 7

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若點(diǎn)P(m,3)與點(diǎn)Q(1,n)關(guān)于y軸對(duì)稱,則m=;n=

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】二次函數(shù)y=﹣2x﹣12+3的圖象如何平移就得到y=﹣2x2的圖象(  )

A. 向左平移1個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位 B. 向右平移1個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位

C. 向左平移1個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位 D. 向右平移1個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案