Question

(本題10分)如圖 ，直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（0,1），與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為B（-3,0）；P、Q分別是軸和直線AB上的一動(dòng)

點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終保持QA=QP；△APQ沿

直線PQ翻折得到△CPQ，A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)C.

（1）求直線AB的解析式．

（2）是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)C恰好落在直線AB

上？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

 

（1）設(shè)直線AB的解析式為，則--------------------2分

解得，即----------------------------------------------1分

（2）分三種情況考慮下

第一種情況（如圖甲）：設(shè)P的坐標(biāo)為（t，0）

∵△APQ與△CPQ關(guān)于直線PQ對(duì)稱，并且點(diǎn)A,Q,C共線，

∴∠AQP=∠CQP=90°，

∵QA=QP,∴QA=QP=QC

即△AQP, △CQP都是等腰直角三角形，

∴△APC是以P為頂角的等腰直角三角形.

根據(jù)AAS可以得到△AOP≌△PHC，

∴CH=OP=t，PH=OA=1，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t+1，t）.

∵點(diǎn)C落在直線AB上，

∴，解得.即P的坐標(biāo)為（2，0）.--------------------------3分

第二種情況（如圖乙）：設(shè)P的坐標(biāo)為（t，0）

∵△APQ與△CPQ關(guān)于直線PQ對(duì)稱，并且點(diǎn)A,Q,C共線，

 ∴∠AQP=∠CQP=90°，

∵QA=QP,∴QA=QP=QC,

即△AQP, △CQP都是等腰直角三角形，

∴△APC是以P為頂角的等腰直角三角形.

根據(jù)AAS可以得到△AOP≌△PHC，

∴CH=OP=-t，PH=OA=1，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t-1，-t）.

∵點(diǎn)C落在直線AB上，∴，解得.

即P的坐標(biāo)為（，0）.-------------------------------------------------3分

 

第三種情況（如圖丙）：

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，Q恰好是線段AB的中

點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)A關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)C與點(diǎn)A重

合，但A，P，Q三點(diǎn)共線，不能構(gòu)成三角形，

故不符合題意. ------------------------------1分

 

 

 

 解析:略