Question

7．如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC，點(diǎn)A，B分別在y軸和x軸正半軸滑動(dòng)，則原點(diǎn)O到C的最長(zhǎng)距離（　　）

• A． $\sqrt{3}-1$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{2}+1$
• D． $\sqrt{3}+1$

Answer 1

分析 由題意得到當(dāng)OA=OB，即三角形AOB為等腰直角三角形時(shí)，OC最大，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，連接OC，交AB與點(diǎn)D，由對(duì)稱(chēng)性得到OC垂直于AB，利用三線合一得到D為AB的中點(diǎn)，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半表示出OD的長(zhǎng)，在直角三角形BCD中，利用勾股定理表示出CD的長(zhǎng)，由OD+DC即可求出OC的長(zhǎng)．

解答 解：取AB的中點(diǎn)D，連接OD，CD，
在△OCD中，OC＜OD+CD，
只有當(dāng)O，D，C三點(diǎn)在一條線上時(shí)，OC=OD+CD，此時(shí)OC最大，如圖所示，OC⊥AB，
∵△AOB為等腰直角三角形，AB=2，
∴OD=$\frac{1}{2}$AB=1，
在Rt△BCD中，BC=2，BD=1，
根據(jù)勾股定理得：CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴OC=$\sqrt{3}$+1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解本題的關(guān)鍵．