Question

如圖，已知直線過點和，是軸正半軸上的動點，的垂直平分線交于點，交軸于點．

（1）直接寫出直線的解析式；

（2）設，的面積為，求關于t的函數關系式；并求出當時，的最大值；

（3）直線過點且與軸平行，問在上是否存在點， 使得是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出點C的坐標，并證明；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）

（2）∵，∴點的橫坐標為，

①當，即時，，

∴．

②當時，，

∴．

∴

當，即時，，

∴當時，有最大值．

（3）由，所以是等腰直角三角形，若在上存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形，則，所以，又軸，則，兩點關于直線對稱，所以，得．

下證．連，則四邊形是正方形．     

法一：（i）當點在線段上，在線段上

（與不重合）時，如圖1．

 

由對稱性，得，

∴ ，

∴ ．

（ii）當點在線段的延長線上，在線段上時，如圖2，如圖3

∵，     ∴．  

（iii）當點與點重合時，顯然．

綜合（i）（ii）（iii），．

∴在上存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形．

 

法二：由，所以是等腰直角三角形，若在上存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形，則，所以，又軸， 則，兩點關于直線對稱，所以，得．

延長與交于點．

（i）如圖4，當點在線段上（與不重合）時，

∵四邊形是正方形，       

∴四邊形和四邊形都是矩形，和都是等腰直角三角形．

∴．  

又∵，        ∴，    

 ∴，

∴，

又∵，

∴．

  ∴．

（ii）當點與點重合時，顯然．            

（iii）在線段的延長線上時，如圖5， 

∵，∠1=∠2

 ∴

綜合（i）（ii）（iii），．

∴在上存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形． 

 

法三：由，所以是等腰直角三角形，若在上存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形，則，所以，又軸，

 則，O兩點關于直線對稱，所以，得．     

連，∵，，，

∴，

．

∴，∴．

∴在上存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形．