Question

（2012•拱墅區(qū)一模）如圖，以△ABC的各邊為邊，在BC的同側(cè)分別作三個正五邊形．它們分別是正五邊形ABFKL、BCJIE、ACHGD，試探究：
（1）四邊形ADEF是什么四邊形？
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是正方形？（不需證明）
（3）四邊形ADEF一定存在嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得出∠3=108°-∠2=∠1，進而得出△FBE≌△ABC得出EF=DA以及EF∥DA即可得出四邊形ADEF的形狀；
（2）當∠BAC=126°，且AC=

5 +1

2

AB（或AC=2ABcos36°）時，∠FAD=90°，AF=AD，即可得出答案；
（3）當∠BAC=36°時，點D、A、F在同一直線上，即可得出此時四邊形不存在．

解答：（1）解：四邊形ADEF是平行四邊形；
理由：∵正五邊形ABFKL、BCJIE，
∴BF=BA，BE=BC，
又∵∠3=108°-∠2=∠1；
在△FBE和△ABC中，

BF=BA ∠1=∠3 BE=BC

∴△FBE≌△ABC（SAS），
∴EF=AC，∠4=∠5，
∵正五邊形ACHGD，
∴AC=DA，
∴EF=DA，
又∵∠FAD=360°-∠BAF-∠4-∠CAD=360°-36°-108°-∠4=216°-∠4；
∠EFA=∠5-∠AFB=∠5-36°；
∴∠FAD+∠EFA=216°-∠4+∠5-36°=180°，
∴EF∥DA，
∴四邊形ADEF是平行四邊形；

（2）當∠BAC=126°，且AC=

5 +1

2

AB（或AC=2ABcos36°）時，四邊形ADEF是正方形；
理由：∵∠BAC=126°，∠BAF=36°，∠CAD=108°，
∴∠FAD=90°，
∵AF=2ABcos36°，AC=2ABcos36°，
∴AF=AC，
∴平行四邊形ADEF是正方形；

（3）當∠BAC=36°時，點D、A、F在同一直線上，以A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形不存在．
理由：∵∠BAC=36°，∠FAB=36°，∠CDA=108°
∴∠DAF=36°+36°+108°=180°，
∴點D、A、F在同一直線上，
∴以A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形不存在．

點評：此題主要考查了四邊形綜合應(yīng)用以及全等三角形的判定以及平行四邊形的判定等知識，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得出邊、角關(guān)系是解題關(guān)鍵．