Question

已知在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為、，點D的坐標為，點P是直線AC上的一動點，直線DP與軸交于點M．問：

（1）當點P運動到何位置時，直線DP平分矩形OABC的面積，請簡要說明理由，并求出此時直線DP的函數(shù)解析式；

（2）當點P沿直線AC移動時，是否存在使與相似的點M，若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）當點P沿直線AC移動時，以點P為圓心、半徑長為R（R＞0）畫圓，所得到的圓稱為動圓P．若設動圓P的直徑長為AC，過點D作動圓P的兩條切線，切點分別為點E、F．請?zhí)角笫欠翊嬖谒倪呅?i>DEPF的最小面積S，若存在，請求出S的值；若不存在，請說明理由．

注：第（3）問請用備用圖解答．

 

Answer 1

解：（1）連結(jié)與交于點，則當點運動到點時，直線平分矩形的面積．理由如下：

　　∵矩形是中心對稱圖形，且點為矩形的對稱中心．

　　又據(jù)經(jīng)過中心對稱圖形對稱中心的任一直線平分此中心對稱圖形的面積，因為直線過矩形的對稱中心點，所以直線平分矩形的面積．

　　由已知可得此時點的坐標為．

　　設直線的函數(shù)解析式為．

則有　解得，．

所以，直線的函數(shù)解析式為：．

（2）存在點使得與相似．

如圖，不妨設直線與軸的正半軸交于點．

因為，若△DOM與△ABC相似，則有或．

當時，即，解得．所以點滿足條件．

當時，即，解得．所以點滿足條件．

由對稱性知，點也滿足條件．

綜上所述，滿足使與相似的點有3個，分別為、、．

（3）如圖 ，

 

過D作DP⊥AC于點P，以P為圓心，半徑長為畫圓，過點D分別作的切線DE、DF，點E、F是切點．除P點外在直線AC上任取一點P₁，半徑長為畫圓，過點D分別作的切線DE₁、DF₁，點E₁、F₁是切點．

在△DEP和△DFP中，∠PED＝∠PFD，PF＝PE，PD＝PD，∴△DPE≌△DPF．

∴Ｓ_{四邊形DEPF}＝2Ｓ_△DPE＝2×．

∴當DE取最小值時，Ｓ_{四邊形DEPF}的值最�。�

∵，，

∴．

∵，∴．

∴．由點的任意性知：DE是

點與切點所連線段長的最小值．……12分

在△ADP與△AOC中，∠DPA＝∠AOC，

∠DAP＝∠CAO，  ∴△ADP∽△AOC．

∴，即．∴．

∴．

∴Ｓ_{四邊形ＤＥＰＦ}＝，即Ｓ＝．