Question

12．如圖①，△ABC與△CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一條直線上，點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，連接AE、BD．
（1）猜想PM與PN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論；
（2）現(xiàn)將圖①中的△CDE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到圖②，AE與MP、BD分別交于點(diǎn)G、H．請(qǐng)判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；
（3）若圖②中的等腰直角三角形變成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如圖③，寫出PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性質(zhì)易證△ACE≌△BCD，由此可得AE=BD，再根據(jù)三角形中位線定理即可得到PM=PN，由平行線的性質(zhì)可得PM⊥PN；
（2）（1）中的結(jié)論仍舊成立，由（1）中的證明思路即可證明；
（3）PM=kPN，由已知條件可證明△BCD∽△ACE，所以可得BD=kAE，因?yàn)辄c(diǎn)P、M、N分別為AD、AB、DE的中點(diǎn)，所以PM=$\frac{1}{2}$BD，PN=$\frac{1}{2}$AE，進(jìn)而可證明PM=kPN．

解答 解：
（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：
∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．
在△ACE和△BCD中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACB=∠ECD=90°}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，
∵點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，
∴PM=$\frac{1}{2}$BD，PN=$\frac{1}{2}$AE，
∴PM=PN，
∵PM∥BD，PN∥AE，AE⊥BD，
∴∠NPD=∠EAC，∠MPA=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，
∴∠MPA+∠NPC=90°，
∴∠MPN=90°，
即PM⊥PN；
（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，
∠ACB=∠ECD=90°．
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．
∴∠ACE=∠BCD．
∴△ACE≌△BCD．
∴AE=BD，∠CAE=∠CBD． 
又∵∠AOC=∠BOE，
∠CAE=∠CBD，
∴∠BHO=∠ACO=90°．
∵點(diǎn)P、M、N分別為AD、AB、DE的中點(diǎn)，
∴PM=$\frac{1}{2}$BD，PM∥BD；
PN=$\frac{1}{2}$AE，PN∥AE．
∴PM=PN．
∴∠MGE+∠BHA=180°．
∴∠MGE=90°．
∴∠MPN=90°．
∴PM⊥PN．                         
（3）PM=kPN                         
∵△ACB和△ECD是直角三角形，
∴∠ACB=∠ECD=90°．
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．
∴∠ACE=∠BCD．
∵BC=kAC，CD=kCE，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{CE}$=k．
∴△BCD∽△ACE．
∴BD=kAE．                       
∵點(diǎn)P、M、N分別為AD、AB、DE的中點(diǎn)，
∴PM=$\frac{1}{2}$BD，PN=$\frac{1}{2}$AE．
∴PM=kPN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是幾何變換綜合題，熟知等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)和三角形中位線定理的運(yùn)用，熟記和三角形有關(guān)的各種性質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵．