【題目】四邊形 ABCD 中,E 為邊 BC 上一點,F 為邊 CD 上一點,且∠AEF=90°

1)如圖 1,若 ABCD 為正方形,E BC 中點,求證:

2)若 ABCD 為平行四邊形,∠AFE=ADC,

①如圖 2,若∠AFE=60°,求的值;

②如圖 3,若 AB=BC,EC=2CF.直接寫出 cosAFE 值為   

【答案】1)見解析(23

【解析】

1)如圖1中,設正方形的邊長為2a.只要證明△ABE∽△ECF,可得,求出CFDF即可解決問題;

2)如圖2中,在AD上取一點H,使得FHDF.只要證明△AEF是等邊三角形,推出AF2EF,再證明△AHF∽△FCE,可得ECHFEFAF12;

3)如圖3,作FTFDAD于點T,作FHADH,證△FCE∽△ATF,設CF2,則CE4,可設ATx,則TF2x,ADCD2x2DHDT,分別用含x的代數(shù)式表示出∠AFE和∠D的余弦值,列出方程,求出x的值,即可求出結(jié)論.

1)證明:如圖1中,設正方形的邊長為2a

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠B=∠C90°,

∵∠AEF90°,

∴∠AEB+∠FEC90°,∠FEC+∠EFC90°,

∴∠AEB=∠EFC,

∴△ABE∽△ECF

BEECa,ABCD2a,

CFaDFCDCFa,

2)如圖2中,在AD上取一點H,使得FHDF,

∵∠AEF90°,∠AFE=∠D60°,

AF2EF

FHDF,

∴△DHF是等邊三角形,

∴∠FHD60°,

∴∠AHF120°,

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

ADBC

∴∠C180°D120°,

∴∠AHF=∠C

∵∠AFC=∠D+∠FAH=∠EFC+∠AFE,∠AFE=∠D,

∴∠HAF=∠EFC,

∴△AHF∽△FCE,

ECHFEFAF12,

;

如圖3,作FTFDAD于點T,作FHADH,

則∠FTD=∠FDT,

180°FTD180°D

∴∠ATF=∠C,

又∵∠TAF+∠D=∠AFE+∠CFE,且∠D=∠AFE,

∴∠TAF=∠CFE,

∴△FCE∽△ATF,

,

CF2,則CE4,可設ATx,則TF2xADCD2x2,

DHDT,且,

cosAFEcosD,得,

解得x6,(x=0舍去)

cosAFE

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