Question

已知⊙O過(guò)點(diǎn)D（4，3），點(diǎn)H與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，過(guò)H作⊙O的切線(xiàn)交x軸于點(diǎn)A．
（1）求sin∠HAO的值；
（2）如圖，設(shè)⊙O與x軸正半軸交點(diǎn)為P，點(diǎn)E、F是線(xiàn)段OP上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)P不重合），連接并延長(zhǎng)DE、DF交⊙O于點(diǎn)B、C，直線(xiàn)BC交x軸于點(diǎn)G，若△DEF是以EF為底的等腰三角形，試探索sin∠CGO的大小怎樣變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)D在圓上，根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)利用勾股定理即可求得OD的長(zhǎng)，即半徑；連接HD交OA于Q，則HD⊥OA，連接OH，則OH⊥AH，根據(jù)同角的余角相等可得到∠HAO=∠OHQ，根據(jù)已知可求得sin∠OHQ的值，則sin∠HAO的值也就求得了；
（2）設(shè)點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為H，連接HD交OP于Q，則HD⊥OP，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)及垂徑定理可得到∠CGO=∠OHQ，則求得sin∠OHQ的值sin∠CGO也就求得了．

解答：解：（1）點(diǎn)D（3，4）在⊙O上，
∴⊙O的半徑r=OD=5；
如圖，連接HD交OA于Q，則HD⊥OA，連接OH，則OH⊥AH，
∴∠HAO=∠OHQ，
∴sin∠HAO=sin∠OHQ=

OQ

OH

=

3

5

；

（2）解：不變．
如圖，設(shè)點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為H，連接HD交OP于Q，則HD⊥OP，
又DE=DF，
∴DH平分∠BDC，
∴

BH

=

CH

．
∴連接OH，則OH⊥BC，
在Rt△OKG與Rt△OHQ中，
∵∠OKG=∠OEH=90°，∠HOG=∠HOG，
∴∠CGO=∠OHQ，
∴sin∠CGO=sin∠OHQ=

OQ

OH

=

3

5

，
所以不變．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)切線(xiàn)性質(zhì)，關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，解直角三角形及垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．