Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10，0），以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓，B為半圓上一點(diǎn)，連接AB并延長至C，使BC=AB，過C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，交線段OB于點(diǎn)E，已知CD=8，拋物線經(jīng)過O、E、A三點(diǎn)．

（1）∠OBA=
（2）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式
（3）若P為拋物線上位于第一象限內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)，以P、O、A、E為頂點(diǎn)的四邊形面積記作S，則S取何值時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有3個(gè)？

Answer 1

【答案】
（1）90°
（2）

解：連接OC，如圖1所示：

∵由（1）知OB⊥AC，又AB=BC，∴OB是AC的垂直平分線，∴OC=OA=10，在Rt△OCD中，OC=10，CD=8，∴OD=6，∴C（6，8），B（8，4）

∴OB所在直線的函數(shù)關(guān)系為y=x，又∵E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，∴E點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，即E（6，3），拋物線過O（0，0），E（6，3），A（10，0），

∴設(shè)此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax（x﹣10），把E點(diǎn)坐標(biāo)代入得：3=6a（6﹣10），解得a=﹣．∴此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x（x﹣10），即y=﹣x2+x

（3）

解：設(shè)點(diǎn)P（p，﹣p2+p），①若點(diǎn)P在CD的左側(cè)，延長OP交CD于Q，如圖2：

OP所在直線函數(shù)關(guān)系式為：y=（﹣p+）x∴當(dāng)x=6時(shí)，y=，即Q點(diǎn)縱坐標(biāo)為，

∴QE=﹣3=，

S四邊形POAE=S△OAE+S△OPE=S△OAE+S△OQE﹣S△PQE=OADE+QEOD﹣QEPx

=×10×3+×（）×6﹣（）（6﹣p）=-p2+p+15

②若點(diǎn)P在CD的右側(cè)，延長AP交CD于Q，如圖3：

P（p，﹣p2+p），A（10，0）∴設(shè)AP所在直線方程為：y=kx+b，把P和A坐標(biāo)代入得，，

解得．∴AP所在直線方程為：y=﹣px+p，∴當(dāng)x=6時(shí)，y=﹣6+p=P，即Q點(diǎn)縱坐標(biāo)為P，

∴QE=P﹣3，∴S四邊形POAE=S△OAE+S△APE=S△OAE+S△AQE﹣S△PQE=OADE+QEDA﹣QE（Px﹣6）

=×10×3+QE（DA﹣Px+6）=15+（p﹣3）（10﹣p）=-p2+4p=-(p-8)2+16，

∴當(dāng)P在CD右側(cè)時(shí)，四邊形POAE的面積最大值為16，此時(shí)點(diǎn)P的位置就一個(gè)，令-p2+p+15=16，解得，p=3±，

當(dāng)P在CD左側(cè)時(shí)，四邊形POAE的面積等于16的對應(yīng)P的位置有兩個(gè)，綜上所知，以P、O、A、E為頂點(diǎn)的四邊形面積S等于16時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有3個(gè)．

【解析】（1）利用圓周角定理，直徑所對的圓周角等于90°，即可得出答案；