Question

（2013•貴陽）已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)是BC上任意一點，連接AF交對角線BD于點E，連接EC．
（1）求證：AE=EC；
（2）當∠ABC=60°，∠CEF=60°時，點F在線段BC上的什么位置？說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AC，根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分可得BD垂直平分AC，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等即可得證；
（2）先判定出△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的每一個角都是60°可得∠BAC=60°，再根據(jù)等邊對等角以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠EAC=30°，從而判斷出AF是△ABC的角平分線，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AF是△ABC的BC邊上的中線，從而解得．

解答：（1）證明：連接AC，
∵BD也是菱形ABCD的對角線，
∴BD垂直平分AC，
∴AE=EC；

（2）解：點F是線段BC的中點．
理由如下：在菱形ABCD中，AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
∵AE=EC，∠CEF=60°，
∴∠EAC=

1

2

∠BAC=30°，
∴AF是△ABC的角平分線，
∵AF交BC于F，
∴AF是△ABC的BC邊上的中線，
∴點F是線段BC的中點．

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握各圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．