Question

3．如圖，△ABC中，AB=8，AC=5，∠A=60°，圓O是三角形的內(nèi)切圓，如果在這個三角形內(nèi)隨意拋一粒豆子，則豆子落在圓O內(nèi)的概率為$\frac{\sqrt{3}π}{10}$．

Answer 1

分析 作CD⊥AB于D，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出CD、AD的長，根據(jù)三角形的面積=$\frac{1}{2}$×（AB+BC+AC）×r計算即可，再根據(jù)概率=相應的面積與總面積之比即可求解．

解答 解：作CD⊥AB于D，
∵∠A=60°，
∴∠ACD=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5}{2}$，
∴CD=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，BD=AB-CD=$\frac{11}{2}$，
∴BC=7，
設△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，
$\frac{1}{2}$×（AB+BC+AC）×r=$\frac{1}{2}$×AB×CD，
解得r=$\sqrt{3}$，
$\frac{1}{2}$×AB×CD=$\frac{1}{2}$×8×$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$，
π×（$\sqrt{3}$）²=π×3=3π，
豆子落在圓O內(nèi)的概率為$\frac{3π}{10\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}π}{10}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}π}{10}$．

點評 本題考查的是幾何概率，三角形內(nèi)心的性質(zhì)，掌握三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點和角平分線的性質(zhì)是解題的關鍵．