Question

4．觀察下列方程及其解的特征：
①x+$\frac{1}{x}=2+\frac{1}{2}$的解為x₁=2，x₂=$\frac{1}{2}$；
②x+$\frac{1}{x}=3+\frac{1}{3}$的解為x₁=3，x₂=$\frac{1}{3}$；
③x+$\frac{1}{x}=4+\frac{1}{4}$的解為x₁=4，x₂=$\frac{1}{4}$；
…
解答下列問題：
（1）根據(jù)解的特征，猜測方程x+$\frac{1}{x}=-\frac{5}{2}$的解為x₁=-2，x₂=-$\frac{1}{2}$，并寫出解答過程；
（2）直接寫出關(guān)于x的分式方程2x+$\frac{1}{2x-5}=\frac{{{a^2}+5a+1}}{a}$的解為x₁=$\frac{a+5}{2}$，x₂=$\frac{1}{2a}$+$\frac{5}{2}$．．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)給出方程及解的特點，得到規(guī)律；首先把給出方程轉(zhuǎn)化成類似方程，然后寫出其解；
（2）把給出的方程化簡，利用整體的思想，轉(zhuǎn)化為類似方程的形式并計算它的解．

解答 解：（1）方程x+$\frac{1}{x}$=-$\frac{5}{2}$的解為x₁=-2，x₂=-$\frac{1}{2}$．
因為方程x+$\frac{1}{x}$=-$\frac{5}{2}$可方程變形為x+$\frac{1}{x}$=-2-$\frac{1}{2}$，
根據(jù)此類方程解的特點，其解為x₁=-2，x₂=-$\frac{1}{2}$；
故答案為：x₁=-2，x₂=-$\frac{1}{2}$；
（2）方程整理得：2x+$\frac{1}{2x-5}$=a+5+$\frac{1}{a}$，
移項，得2x-5+$\frac{1}{2x-5}$=a+$\frac{1}{a}$
∴2x-5=a或2x-5=$\frac{1}{a}$
解得：x₁=$\frac{a+5}{2}$，x₂=$\frac{1}{2a}$+$\frac{5}{2}$．

故答案為：x₁=$\frac{a+5}{2}$，x₂=$\frac{1}{2a}$+$\frac{5}{2}$．

點評 此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗．