Question

已知正方形ABCD中，AB=5，E是直線BC上的一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)E作EF⊥AE，交直線CD于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)E點(diǎn)在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)線段BE的長(zhǎng)為x，線段CF的長(zhǎng)為y，
①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及其定義域；
②根據(jù)①中所得y關(guān)于x的函數(shù)圖象，求當(dāng)BE的長(zhǎng)為何值時(shí)，線段CF最長(zhǎng)，并求此時(shí)CF的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)CF的長(zhǎng)為

6

5

時(shí)，求tan∠EAF的值．

Answer 1

分析：（1）①由題意易得△CEF∽△BAE，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，可得y關(guān)于x的函數(shù)解析式，根據(jù)BC的長(zhǎng)確定定義域即可；
②用配方法求得二次函數(shù)的最值即可；
（2）因?yàn)閠an∠EAF=EF：AE，則由①的函數(shù)解析式求得BE的值，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例，即可求得EF：AE=CF：BE．

解答：解：（1）①∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°．
又∵∠CEA=∠CEF+∠AEF，∠CEA=∠BAE+∠B，
∴∠CEF=∠BAE．（1分）
又∵∠B=∠C=90°，
∴△CEF∽△BAE（1分）
∴

CF

BE

=

CE

AB

，
∴

y

x

=

5-x

5

，
∴y=-

1

5

x2+x（0＜x＜5）；（2分）
②y=-

1

5

x2+x=-

1

5

(x-

5

2

)2+

5

4

（1分）
根據(jù)函數(shù)圖象可知，拋物線y=-

1

5

(x-

5

2

)2+

5

4

，
開口向下，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是它的最高點(diǎn)、且x=

5

2

在函數(shù)的定義域內(nèi)．
所以當(dāng)BE的長(zhǎng)為

5

2

時(shí)，CF的長(zhǎng)最大為

5

4

（2分）

（2）若E在邊BC上，CF=y=

6

5

，y=-

1

5

x2+x
∴-

1

5

x2+x-

6

5

=0，
解得x₁=2，x₂=3，
當(dāng)BE=2時(shí)，tan∠EAF=

3

5

；
當(dāng)BE=3，時(shí)tan∠EAF=

2

5

．
若E在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可得△CEF∽△BAE，
∴

CF

BE

=

CE

AB

，即

y

x

=

5+x

5

，
∴y=

1

5

x²+x，
∵CF=y=

6

5

，

1

5

x2+x-

6

5

=0，
解得：x₁=1，x₂=-6（舍去），
當(dāng)BE=1時(shí)，tan∠EAF=

6

5

．
當(dāng)E點(diǎn)可在BC的延長(zhǎng)線上，CE=1，
tan∠EAF=

1

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了相似三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用、二次函數(shù)的最值求法、直角三角形中銳角函數(shù)值的求法等知識(shí)點(diǎn)．