Question

如圖，分別取等邊三角形ABC各邊的中點D，E，F，得△DEF．若△ABC的邊長為a．
（1）△DEF與△ABC相似嗎？如果相似，相似比是多少？
（2）分別求出這兩個三角形的面積．
（3）這兩個三角形的面積比與邊長之比有什么關系？

Answer 1

分析：（1）先證明出△DEF是等邊三角形，兩等邊三角形相似，進而求出相似比；
（2）根據三角形的面積公式求出這兩個三角形的面積；
（3）算出兩個三角形的面積比與邊長之比，再得到結論．

解答：解：（1）∵D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、AC的中點，
∴DE=

1

2

AC，DF=

1

2

BC，EF=

1

2

AB，
∵等邊三角形ABC，
∴△DEF是等邊三角形，
∴△DEF與△ABC相似，相似比是

1

2

，

（2）S_△ABC=

1

2

×a×

3

2

a=

3

4

a²，
S_△DEF=

1

2

×

1

2

a×

3

4

a²=

3

16

a²．

（3）兩個三角形的面積比為1：4，邊長之比為1：2，
三角形的面積比等于邊長之比的平方．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊所得的三角形與原三角形相似；相似三角形對應邊的比相等．