Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線l：y=-

1

3

x+b分別交x軸、y軸于A、B兩點．點C（2，0）、D（8，0），以CD為一邊在x軸上方作矩形CDEF，且CF：CD=1：3．設(shè)矩形CDEF與△ABO重疊部分的面積為S． 
（1）求點E、F的坐標；   
（2）求s與b的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）若把點O關(guān)于直線l的對稱點記為點G，在直線l上下平移的過程中，平面上是否存在這樣的點P，使得以A、P、E、G為頂點的四邊形為菱形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得CF、EF的長，根據(jù)矩形的各邊長，可得答案；
（2）分類討論，0＜b≤

2

3

時，沒有重疊部分；當

2

3

＜b≤

8

3

時，重疊部分是三角形，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；當

8

3

＜b≤

14

3

時，重疊部分是矩形與梯形的組合，根據(jù)面積的和差，可得答案；b＞

14

3

時，重疊部分的面積是CDEF的面積；
（3）分類討論，菱形AEPG，菱形AGEP，菱形AGPE，菱形AEGP，四條邊都相等的四邊形是菱形，分別可得，P點坐標，B的值．

解答：解：（1）∵C（2，0），D（8，0），∴CD=8-2=6
∵矩形CDEF中，CF：CD=1：3，
∴CF=DE=2，
∵點E、F在第一象限，
∴E（8，2），F(xiàn)（2，2）；
（2）由題意，可知A（3b，0），B（0，b），在Rt△ABO中，tan∠BAO=

OB

OA

=

1

3

，
①當0＜b≤

2

3

時，如圖1
，
S=0；
②當

2

3

＜b≤

8

3

時，如圖2
，
設(shè)AB交CF于G，AC=3b-2，
在Rt△AGC中，∵tan∠BAO=

GC

AC

=

1

3

，∴CG=

1

3

(3b-2)．
∴S=

1

2

(3b-2)

1

3

(3b-2)，即S=

1

6

(3b-2)2；
③當

8

3

＜b≤

14

3

時，如圖3
，
設(shè)AB交EF于G，交ED于H，AD=3b-8，
在Rt△ADH中，∵tan∠BAO=

DH

AD

=

1

3

，∴HD=

1

3

(3b-8)，HE=2-

1

3

(3b-8)=

14

3

-b，
在矩形CDEF中，∵CD∥EF，∴∠EGH=∠BAO，
在Rt△EGH中，∵tan∠EGH=

EH

EG

=

1

3

，∴EG=14-3b，
∴S=12-

3

2

(

14

3

-b)2；
④當b＞

14

3

時，如圖4
，
S=12．

（3）b=

52

9

，

17

12

，

-14+8 19

9

，

-14-8 19

9

，
點P坐標(

64

5

，

42

5

)，(

23

5

，

91

20

)，(

64+32 19

15

，

24-8 19

5

)，(

64-32 19

15

，

24+8 19

5

)．

點評：本題考查了一次函數(shù)的綜合題，利用了矩形的性質(zhì)，菱形的判定，分類討論是解題關(guān)鍵．