Question

【題目】若△ABC和△DEF的面積分別為S1、S2 ．
（1）如圖①，AC=DF，BC=DE，∠C=30°，∠D=150°，比較S1與S2的大小為；
A.S1＞S2
B.S1＜S2
C.S1=S2
D.不能確定
（2）說明（1）的理由．
（3）如圖②，在△ABC與△DEF中，AC=DF，BC=DE，∠C=30°，點(diǎn)E在以D為圓心，DE長(zhǎng)為半徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，∠EDF的度數(shù)為α，比較S1與S2的大�。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果，不用說明理由）．

Answer 1

【答案】
（1）C
（2）解：如圖1，

作BG⊥AC垂足為G，作EH⊥DF，垂足為H，

在Rt△BCG中，∠C=30°，

∴BG=BCsin∠C=BCsin30°= BC，

∴S1= AC×BG= AC× BC= AC×BC

在Rt△EDH中，∠EDH=180°﹣∠EDF=30°，

∴EH=EDsin∠EDH=EDsin30°= ED，

∴S2= DF×EH= DF× ED= DF×DE，

∵BC=DE，AC=DF，

∴S1=S2

（3）解：如圖2，過點(diǎn)B作BG⊥AC，

①當(dāng)0°＜α≤90°時(shí)，

在Rt△BCG中，∠C=30°，

∴BG=BCsin∠C=BCsin30°= BC，

∴S1= AC×BG= AC× BC= AC×BC，

∵BC=DE，AC=DF，

∴S1= DF×DE= DF×DE× ，

在Rt△EDH中，∠EDH=α，

∴EH=EDsin∠EDH=EDsinα，

∴S2= DF×EH= DF× ED= DF×DEsinα，

Ⅰ、當(dāng)sinα＜ 時(shí)，即：0°＜α＜30°時(shí)，S1＞S2，

Ⅱ、當(dāng)sinα= 時(shí)，即：α=30°時(shí)，S1=S2，

Ⅲ、當(dāng)sinα＞ 時(shí)，即：30°＜α≤90°時(shí)，S1＜S2，

②當(dāng)90°＜α＜180°時(shí)，設(shè)∠MDN=β=180°﹣α，

同①方法得，S1= DF×DE× ，

S2= DF×DEsinβ，

Ⅰ、當(dāng)sinβ＜ 時(shí)，即：0°＜β＜30°時(shí)，

∴0°＜180°﹣α＜30°，即：150°＜α＜180°時(shí)，S1＞S2，

Ⅱ、當(dāng)sinβ= 時(shí)，即：β=30°時(shí)，即：α=150°時(shí)，S1=S2，

Ⅲ、當(dāng)sinβ＞ 時(shí)，即：30°＜β＜90°時(shí)，即：90°＜α＜150°時(shí)，S1＜S2，

綜上所述，

Ⅰ．當(dāng)α＜30°、150°＜α＜180°時(shí)S1＞S2；

Ⅱ．當(dāng)α=30°、α=150°時(shí)S1=S2；

Ⅲ．當(dāng)30°＜α＜150°時(shí)，S1＜S2．

【解析】（1）先直接判斷出結(jié)論，（2）用三角形的面積公式即可得出結(jié)論；（3）用三角形的面積公式，再用三角函數(shù)中正弦值的性質(zhì)分類討論即可得出結(jié)論．