Question

如圖所示，已知AB是⊙O中一條長為4的弦，P是⊙O上一動點，且，問是否存在以A、P、B為頂點的面積最大的三角形？試說明理由；若存在，求出這個三角形的面積．

Answer 1

解：如圖，PF是AB的中垂線，作BE⊥AP，垂足為E，
∵PB=PA，cos∠APB==，
∴PB=3PE，AE=2PE，
由勾股定理得，BE²=PB²-PE²=AB²-AE²，
∴9PE²-PE²=4²-4PE²，
故12PE²=16，
得PE=，AE=，PA=2，BE=，
∴S_△PAB=PA•BE=×2×=4．
分析：由于AB的長固定，∠P的余弦值固定，則∠P的度數(shù)也就固定，當點P在AB的中垂線上時，AB邊上的高是最大的，即，三角形的面積有最大值．根據(jù)余弦的概念和勾股定理求解即可．
點評：本題利用了中垂線的性質，余弦的概念，勾股定理和三角形的面積公式求解．