Question

17．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于D，AE平分∠BAD，交BC于E，在△ABC外有一點(diǎn)F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC．
（1）求證：BE=CF；
（2）在AB上取一點(diǎn)M，使得BM=2DE，連接ME
①求證：ME⊥BC；
②求∠EMC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可知∠ABC=∠ACB=45°，由FC⊥BC可知∠ACF=45°，從而得出∠ABE=∠ACF；由∠BAE、∠CAF均為∠EAC的余角可得出∠BAE=∠CAF，結(jié)合AB=AC即可得出△ABE≌△ACF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）①過點(diǎn)E作EQ⊥AB于點(diǎn)Q，由△AEQ≌△AED可得出QE=DE；根據(jù)∠BQE=90°和∠QBE=45°可得出∠BEQ=45°、BQ=QE，再由BE=2DE=2QE即可得出∠QEC=45°，由此可得出∠BEM=90°，即ME⊥BC；②設(shè)DE=a，則BM=2a，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可用含a的代數(shù)式表示AB和BD，由邊與邊的關(guān)系可得出AM=ME，結(jié)合MC=MC可證得Rt△MAC≌Rt△MEC，即∠EMC=∠AMC，再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵FC⊥BC，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴∠ACF=45°=∠ABE．
∵∠BAC=90°，F(xiàn)A⊥AE，
∴∠BAE+∠EAC=90°=∠CAF+∠EAC，
∴∠BAE=∠CAF．
在△ABE和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠ABE}\\{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF．
（2）①證明：過點(diǎn)E作EQ⊥AB于點(diǎn)Q，如圖所示．

∵AE平分∠BAD，
∴∠QAE=∠DAE，
在△AEQ和△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠QAE=∠DAE}\\{∠ADE=∠AQE=90°}\\{AE=AE}\end{array}\right.$
∴△AEQ≌△AED（AAS），
∴QE=DE．
∵∠BQE=90°，∠QBE=45°，
∴∠BEQ=45°，
∴BQ=QE，
又∵BM=2DE=QE，
∴QM=QE，
∴∠QEM=∠QME=$\frac{90°}{2}$=45°，
∴∠BEM=∠BEQ+∠QEM=90°，
∴ME⊥BC．
②解：設(shè)DE=a，則BM=2a．
∵△BEM為等腰直角三角形，
∴BE=EM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BM=$\sqrt{2}$a，
∴BD=BE+DE=（$\sqrt{2}$+1）a．
∵△ABC為等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴AB=$\sqrt{2}$BD=$\sqrt{2}$×（$\sqrt{2}$+1）a=（2+$\sqrt{2}$）a，
∵BM=2a，
∴AM=（2+$\sqrt{2}$）a-2a=$\sqrt{2}$a，
∴AM=EM．
在Rt△MAC和Rt△MEC中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=EM}\\{MC=MC}\end{array}\right.$，
∴Rt△MAC≌Rt△MEC（HL），
∴∠EMC=∠AMC，
又∵∠BME=45°，
∴∠EMC=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是：（1）證明△AEQ和△AED全等；（2）①得出∠BEM=90°；②通過邊角關(guān)系找出AM=EM．本題屬于中檔題，難度不大，但做題過程較繁瑣，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)找出相等的量是關(guān)鍵．