Question

已知等腰△ABC，AB=AC，若已知其底角的正切值為

1

3

，一邊長(zhǎng)為10，求△ABC的周長(zhǎng)和面積．

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形,等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：作△ABC底邊上的高AD．由等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=∠C，BC=2BD=2DC，根據(jù)正切函數(shù)的定義可設(shè)AD=x，則BD=3x，在△ABD中，由勾股定理得AB=

AD2+BD2

=

10

x．再分兩種情況進(jìn)行討論：①腰長(zhǎng)為10；②底邊長(zhǎng)為10．

解答：解：如圖，作△ABC底邊上的高AD．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠B=∠C，BC=2BD=2DC，
∴tan∠B=

AD

BD

=

1

3

，
設(shè)AD=x，則BD=3x，
在△ABD中，由勾股定理得AB=

AD2+BD2

=

10

x．
①如果腰長(zhǎng)為10，那么

10

x=10，解得x=

10

，
所以BC=2BD=6x=6

10

，
△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=20+6

10

，
△ABC的面積=

1

2

BC•AD=

1

2

×6

10

×

10

=30；
②如果底邊長(zhǎng)為10，那么6x=10，解得x=

5

3

，
所以AB=AC=

5 10

3

，
△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=

10 10 +30

3

，
△ABC的面積=

1

2

BC•AD=

1

2

×10×

5

3

=

25

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，難度適中，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．