Question

如圖，矩形ABCD的對(duì)角線BD經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形的邊分別平行于坐標(biāo)軸，點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，-2），則k的值為（ ）

A．1
B．-3
C．4
D．1或-3

Answer 1

【答案】分析：設(shè)C（x，y）．根據(jù)矩形的性質(zhì)、點(diǎn)A的坐標(biāo)分別求出B（-2，y）、D（x，-2）；根據(jù)“矩形ABCD的對(duì)角線BD經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)”及直線AB的幾何意義求得xy=4①，又點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，所以將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入其中求得xy=k²+2k+1②；聯(lián)立①②解關(guān)于k的一元二次方程即可．
解答：解：設(shè)C（x，y）．
∵四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，-2），
∴B（-2，y）、D（x，-2）；
∵矩形ABCD的對(duì)角線BD經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴設(shè)直線BD的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx，
∵B（-2，y）、D（x，-2），
∴k=，k=，
∴=，即xy=4；①
又∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，
∴xy=k²+2k+1，②
由①②，得
k²+2k-3=0，即（k-1）（k+3）=0，
∴k=1或k=-3，
則k=1或k=-3．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、矩形的性質(zhì)．解答此題的難點(diǎn)是根據(jù)C（x，y）求得B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形相似列出方程=，即xy=4．