Question

如圖，已知直線L₁的解析式為y=1.5x+6，直線L₁與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，直線L₂經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，0），又已知點(diǎn)P在x軸上從點(diǎn)A向點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)Q在直線L₂從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動(dòng)（一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)即停止運(yùn)動(dòng)）．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，移動(dòng)的速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求直線L₂的解析式；
（2）設(shè)△PCQ的面積為S，請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某一時(shí)刻，當(dāng)過(guò)P、Q兩點(diǎn)的直線平分△OCB的周長(zhǎng)時(shí)，△PCQ的面積達(dá)到最大？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）試探究：當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ為等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）因?yàn)橹本�L₁的解析式為y=1.5x+6，直線L₁與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，所以分別令y=0，x=0，即可求出A、B的坐標(biāo)，又因直線L₂經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，B的坐標(biāo)已經(jīng)求出，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，0），所以利用待定系數(shù)法結(jié)合方程組即可求出L₂的解析式；
（2）要求△PCQ的面積S，需求出PC上的高，因此需過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AC于點(diǎn)E，因?yàn)镺B=6，OC=8，利用勾股定理可得BC=10，PC=12-t•1，因?yàn)镼E⊥AC，BO⊥AC，所以可得△QCE∽△BOC，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比可得

QE

BO

=

CQ

CB

，所以QE=

6

10

t，S=

1

2

PC•QE=

1

2

（12-t）•

3

5

t，整理即可；
（3）由（2）知S=-

3

10

t²+

18

5

t=-

3

10

（t-6）²+10.8，利用二次函數(shù)最值的求法可知當(dāng)t=6時(shí)，S有最大值，最大值為10.8，此時(shí)CP=6，CQ=6，L_△CBO=6+8+10=24，利用CP+CQ=12，從而可判斷此時(shí)直線PQ將三角形的周長(zhǎng)平分，接下來(lái)求Q的坐標(biāo)：
由（2）中△QCE∽△BOC，可得

QE

BO

=

CQ

BC

=

CE

CO

，即

QE

6

=

6

10

=

CE

8

．所以QE=

18

5

，CE=

24

5

，OE=OC-CE=8-

24

5

=

16

5

，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

16

5

，

18

5

）；
（4）因?yàn)椤鱌CQ為等腰三角形，所以需分情況討論：
①當(dāng)CP=CQ時(shí)，△PQC為等腰三角形，因?yàn)锳P=CQ=t，CP=12-t，所以t=12-t，解之即可；
②當(dāng)PQ=CQ時(shí)，因?yàn)镼E⊥OC，所以CE=OE=

1

2

（12-t），利用△CQE∽△CBO，可得

CQ

CB

=

CE

CO

，代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可求出t的值；
③當(dāng)PQ=CP時(shí)，△PQC為等腰三角形，可過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，利用等腰三角形的三線合一可得CH=HQ=

1

2

t，因?yàn)椤螩HP=∠COB=90°，∠PCH=∠BCO，可得△CHP∽△COB，所以

CH

OC

=

CP

CB

，代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可求出t的值．

解答：解：（1）y=-

3

4

x+6．

（2）過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AC于點(diǎn)E，
OB=6，OC=8，∴BC=10，PC=12-t•1，
QE⊥AC，BO⊥AC，∴△QCE∽△BOC，
∴

QE

BO

=

CQ

CB

，

QE

6

=

t

10

，∴QE=

6

10

t=

3

5

t，
∴S=

1

2

PC•QE=

1

2

（12-t）•

3

5

t=-

3

10

t²+

18

5

t．

（3）存在，
S=-

3

10

t²+

18

5

t=-

3

10

（t-6）²+10.8，
∴當(dāng)t=2時(shí)，S有最大值，最大值為10.8，此時(shí)CP=6，CQ=6，
∴L_△CBO=6+8+10=24，∴CP+CQ=12，
△QCE∽△BOC，∴

QE

BO

=

CQ

BC

=

CE

CO

，即

QE

6

=

6

10

=

CE

8

．
∴QE=

18

5

，CE=

24

5

，
∴OE=OC-CE=8-

24

5

=

16

5

，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

16

5

，

18

5

）．

（4）①當(dāng)CP=CQ時(shí)，△PQC為等腰三角形；
∵AP=CQ=t，CP=12-t，
∴t=12-t，即t=6，當(dāng)PQ=CQ時(shí)，△PQC為等腰三角形；
②PQ=CQ，QE⊥OC，
∴CE=PE=

1

2

（12-t）
∵△CQE∽△CBO，
∴

CQ

CB

=

CE

CO

，即

t

10

=

1 2 (12-t)

8

，
∴t=

60

13

；
③當(dāng)PQ=CP時(shí)，△PQC為等腰三角形，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，
則CH=HQ=

1

2

t，∠CHP=∠COB=90°，∠PCH=∠BCO，∴△CHP∽△COB，
∴

CH

OC

=

CP

CB

，即

1 2 t

8

=

12-t

10

，∴t=

96

13

．
綜上所述t=6，t=

60

13

，t=

96

13

時(shí)，△PQC為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合性較強(qiáng)的題目，需仔細(xì)分析題意，利用一次函數(shù)和相似三角形的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題，另外要注意解決這類問(wèn)題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．