Question

將△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)α得到△ADE，DE的延長線與BC相交于點(diǎn)F，連接AF．
（1）如圖1，若∠BAC=α=60°，DF=2BF，請直接寫出AF與BF的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，若∠BAC＜α=60°，DF=3BF，猜想線段AF與BF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）如圖3，若∠BAC＜α，DF=mBF（m為常數(shù)），請直接寫出

AF

BF

的值（用含α、m的式子表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：（1）在DF上截取DG=BF，連接AG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD=AB，∠D=∠B，然后利用“邊角邊”證明△ADG和△ABF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AG=AF，全等三角形對應(yīng)邊相等可得∠DAG=∠BAF，從而求出∠GAF=α，判斷出△GAF是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得AF=GF=DG=BF；
（2）求解思路同（1）；
（3）在DF上截取DG=BF，連接AG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD=AB，∠D=∠B，然后利用“邊角邊”證明△ADG和△ABF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AG=AF，全等三角形對應(yīng)邊相等可得∠DAG=∠BAF，從而求出∠GAF=α，判斷出△GAF是等腰三角形，并求出GF，過點(diǎn)A作AH⊥DF于H，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)表示出HF，再利用銳角的正弦列式整理即可得解．

解答：解：（1）AF=BF．
理由如下：在DF上截取DG=BF，連接AG，（如圖1），
由旋轉(zhuǎn)得AD=AB，∠D=∠B，
在△ADG和△ABF中，

AD=AB ∠B=∠D DG=BF

，
∴△ADG≌△ABF（SAS），
∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，
∴∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠GAB+∠DAG=∠DAB=60°．
∴△GAF是等邊三角形，
又∵DF=2BF，
∴AF=GF=DF-DG=DF-BF=BF，
即AF=BF；

（2）解：猜想：AF=2BF．
證明：在DF上截取DG=BF，連接AG（如圖2）．
由旋轉(zhuǎn)得AD=AB，∠D=∠B，
在△ADG和△ABF中，

AD=AB ∠B=∠D DG=BF

，
∴△ADG≌△ABF（SAS），
∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，
∴∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠GAB+∠DAG=∠DAB=60°，
∴△GAF是等邊三角形，
又∵DF=3BF，
∴AF=GF=DF-DG=DF-BF=2BF，
即AF=2BF；

（3）在DF上截取DG=BF，連接AG，（如圖3），
由旋轉(zhuǎn)得AD=AB，∠D=∠B，
在△ADG和△ABF中，

AD=AB ∠B=∠D DG=BF

，
∴△ADG≌△ABF（SAS），
∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，
∴∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠GAB+∠DAG=∠DAB=α，
∴△GAF是等腰三角形，
∵DF=mBF，
∴GF=DF-DG=mBF-BF=（m-1）BF，
過點(diǎn)A作AH⊥DF于H，則FH=

1

2

GF=

1

2

（m-1）BF，
∠FAH=

1

2

∠GAF=

1

2

α，
∵sin∠FAH=

FH

AF

，
∴sin

α

2

=

1 2 (m-1)BF

AF

，
∴

AF

BF

=

m-1

2sin α 2

．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，此類題目，解題的關(guān)鍵在于前后小題利用的求解思路相同．