Question

已知：點(diǎn)P是x軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)A（4，0）在x軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，直線AB切⊙P于點(diǎn)D．⊙P的半徑為15，AP與⊙P交于點(diǎn)C，PO-2OC=9．
求：（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)和AP的長(zhǎng)；
（2）直線AB的函數(shù)解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)點(diǎn)C在線段PO上時(shí)（如圖一），有PO-OC=PC=15，且PO-2OC=9，解方程組可求PO，從而確定點(diǎn)P的坐標(biāo)和AP的長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)C在線段AO上時(shí)（如圖二），有PO+OC=PC=15，且PO-2OC=9，解方程組可求PO，從而確定點(diǎn)P的坐標(biāo)和AP的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)（1）的兩種情況，連接PD，分別在Rt△APD中，由勾股定理求AD，由△ABO∽△APD，利用相似比求OB，確定B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線AB的解析式．
解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)C在線段PO上時(shí)，（如圖一），
∵⊙P的半徑為9，∴PC=15，∴PO-OC=15，
∵PO-2OC=9，∴PO=21，OC=6，
∴點(diǎn)P（-21，0）…（1分）
∵點(diǎn)A（4，0），∴AP=25．…（1分）
當(dāng)點(diǎn)C在線段AO上時(shí)（如圖二），
∵⊙P的半徑為9，∴PC=15，∴PO+OC=15，
∵PO-2OC=9，∴PO=13，OC=2，
∴點(diǎn)P（-13，0）…（1分）
∵點(diǎn)A（4，0），∴AP=17．…（1分）

（2）當(dāng)點(diǎn)C在線段PO上時(shí)，連接PD（如圖一），
∵AB切⊙P于點(diǎn)D，∴PD⊥AD，PD=15．
∵AP=25，∴AD²+PD²=AP²，∴AD=20． …（1分）
∵△ABO∽△APD，∴AO：AD=OB：PD，即4：20=OB：15，∴OB=3，…（1分）
∴可以求得切線AB的函數(shù)解析式為y=-x+3． …（2分）
當(dāng)點(diǎn)C在線段AO上時(shí)，連接PD（如圖二），
∵AB切⊙P于點(diǎn)D，∴PD⊥AD，PD=15．
∵AP=17，∴AD²+PD²=AP²，∴AD=8．…（1分）
∵△ABO∽△APD，
∵△ABO∽△APD，∴AO：AD=OB：PD，即4：8=OB：15，∴OB=，…（1分）
∴可以求得切線AB的函數(shù)解析式為y=-x+． …（2分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是點(diǎn)C的位置分類，由勾股定理，相似三角形求B點(diǎn)坐標(biāo)，確定直線AB的解析式．