Question

如圖，已知線段AB=10，點(diǎn)C在線段AB上，⊙A、⊙B的半徑分別為AC、BC，D是⊙B上一點(diǎn)，AD交⊙A于E，EC的延長(zhǎng)線交⊙B于F．
（1）求證：BF∥AD；
（2）若BD⊥AD，AC=x，DF=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，寫(xiě)出定義域．
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，DF是否有可能與AB垂直？如果有可能請(qǐng)求出AC的長(zhǎng)；如果沒(méi)有可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用圓的半徑相等可以得到相等的角，進(jìn)而利用平行線的判定定理判定兩線段平行；
（2）利用勾股定理可以得到DF²=BD²+BF²，從而得到兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系．
（3）假設(shè)DF與AB垂直，證得△ABD≌△DBF，解得x的值即可．

解答：（1）證明：∵E、C在⊙A上，F(xiàn)、C在⊙B上，
∴AE=AC，BC=BF（1分）
∴∠AEC=∠ACE，∠BCF=∠BFC（1分）
∵∠ACE=∠BCF
∴∠AEC=∠BFC（1分）
∴BF∥AD（1分）

（2）解：∵BD⊥AD，BF∥AD
∴∠ADB=∠DBF=90°（1分）
∵AB=10，AC=x
∴BC=10-x（1分）
∴BD=BF=BO=10-x
∵DF=y（1分）
∴DF²=BD²+BF²
∴y²=2（10-x）²，y=

2

（10-x）（0＜x＜10）（3分）

（3）解：假設(shè)DF與AB垂直，∵BD=BF
∴∠DBA=∠BDF=45°（1分）
∵∠ADB=∠DBF=90°BD=BD
∴△ABD≌△FDB（1分）
∴AB=DF，
10=

2

（10-x）
解得：x=10-5

2

（2分）
當(dāng)AC的長(zhǎng)為10-5

2

時(shí)DF與AB垂直．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度較大，同學(xué)們要細(xì)心作答．