Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點，過點B作∠CBE=∠A，BE與CD相交于點F，與AC相交于點E，
（1）求證：BE⊥CD；
（2）如果BE=CD，那么線段AC與BC之間具有怎樣的數(shù)量關系？并證明你所得到的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)角之間的等量關系及中點的特點即可得出答案；
（2）根據(jù)題意易證△BCE∽△ACB，根據(jù)相似三角形比例關系即可得出結論．
解答：解：（1）∵∠CBE=∠A，
∴∠CBE+∠EBA=∠A+∠EBA，即：∠CBA=∠BEC，
∵∠ACB=90°，D是AB的中點，
∴CD=BD，
∴∠CBA=∠DCB，
∴∠DCB=∠BEC，
∵∠DCB+∠ACD=90°，
∴∠BEC+∠ACD=90°，
∴BE⊥CD；

（2）線段AC與BC之間的數(shù)量關系是（AC=2BC），
∵∠CBE=∠A，∠BCE=∠ACB，
∴△BCE∽△ACB，
∴，
∵BE=CD，，
∴．
點評：本題主要考查了直角三角形斜邊中線的性質及相似三角形的證明及性質，難度適中．