Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（4，3），O（0，0），B（6，0）．點(diǎn)M是OB邊上異于O，B的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB，點(diǎn)P是AB邊上的任意點(diǎn)，連接AM，PM，PN，BN．設(shè)點(diǎn)M（x，0），△PMN的面積為S．

（1）求出OA所在直線的解析式，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（2）求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，寫出x的取值范圍，并求出S的最大值；

（3）若S：S_△ANB=2：3時(shí)，求出此時(shí)N點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）設(shè)直線OA的解析式為y=k₁ x，∵A（4，3），

∴3=4k₁，解得k₁=，

∴OA所在的直線的解析式為：y=x，

同理可求得直線AB的解析式為；y=﹣x+9，

∵M(jìn)N∥AB，

∴設(shè)直線MN的解析式為y=﹣x+b，把M（1，0）代入得：b=，

∴直線MN的解析式為y=﹣x+，

解，得，

∴N（，）．

 

（2）如圖2，作NH⊥OB于H，AG⊥OB于G，則AG=3．

∵M(jìn)N∥AB，

∴△MBN的面積=△PMN的面積=S，

∴△OMN∽△OBA，

∴NH：AG=OM：OB，

∴NH：3=x：6，即NH=x，

∴S=MB•NH=×（6﹣x）×x=﹣（x﹣3）²+（0＜x＜6），

∴當(dāng)x=3時(shí)，S有最大值，最大值為．

 

（3）如圖2，∵M(jìn)N∥AB，

∴△AMB的面積=△ANB的面積=S_△ANB，△NMB的面積=△NMP的面積=S

∵S：S_△ANB=2：3，

∴MB•NH：MB•AG=2：3，即NH；AG=2：3，

∵AG⊥OB于G，NH⊥OB，

∴NH∥AG，

∴ON：OA=NH：AG=2：3，

∵M(jìn)N∥AB，

∴OM：OB=ON：OA=2：3，

∵OA=6，

∴=，

∴OM=4，

∴M（4，0）

∵直線AB的解析式為；y=﹣x+9，

∴設(shè)直線MN的解析式y(tǒng)=﹣x+b

∴代入得：0=﹣×4+b，

解得b=6，

∴直線MN的解析式為y=﹣x+6，

解得，

∴N（，2）．