Question

已知△ABC中，AB=AC=5，BC=8，點D在BC邊上移動，連接AD，將△ADC沿直線AD翻折，此時點C的對應點為C₁，AC₁交邊BC于點E．
（1）當點D移動到AC₁與BC垂直時，此時CD的長為多少？
（2）設CD=x，BE=y，求y關于x的函數(shù)解析式及自變量x的取值范圍；
（3）在點D的移動過程中，是否可以使得△EC₁D成為等腰三角形？若存在，請直接寫出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當AC₁與BC垂直時，點E是BC的中點，有CE=

1

2

BC=4，由勾股定理可求得AE=3，由于C₁D=CD，A₁C=AC，在Rt△C₁DE中，由勾股定理可求得ED的值，再求得CD的值；
（2）易證△ABE∽△D₁CE，得到AB：C₁D=AE：ED=BE：EC₁，先求得ED，再得到BE與CD的關系式；
（3）分兩種情況：當C₁E=ED時和當C₁E=C₁D時，可由（2）中的關系式求得．

解答：解：（1）∵AC₁與BC垂直，AB=AC=5，BC=8
∴CE=

1

2

BC=4
在Rt△AEC中，AE=

AC2-CE2

=3
∵C₁D=CD，AC₁=AC=5，EC₁=AC₁-AE，ED=EC-CD
∴在Rt△EDC₁中，有ED²+EC₁²=C₁D²，即CD²=（5-3）²+（4-CD）²，
解得：CD=

5

2

；

（2）
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵∠C₁=∠C
∴∠C₁=∠B
又∵∠AEB∠DEC₁
∴△AEB∽△DEC₁
∴AB：DC₁=AE：DE=BE：C₁E
∴5：C₁D=AE：（8-BE-CD）=BE：（5-AE）
∵BE=y，CD=C₁D=x
∴5：x=AE：（8-y-x）=y：（5-AE）
解得AE=

25-xy

5

，y=

50(x-4)

x2-25

（0＜x＜4）；

（3）存在．
當C₁E=ED時，由于△AEB∽△DEC₁，則有y=BE=AE=

25-xy

5

∴y=

25

5+x

∴

25

5+x

=

50(x-4)

x2-25

∴x=3；
當C₁E=C₁D時，由于△AEB∽△DEC₁，則有y=

50(x-4)

x2-25

=BE=AB=5，
解得x=5-

10

．

點評：本題考查了翻折的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)．