Question

如果20個(gè)點(diǎn)將某圓周20等分，那么頂點(diǎn)只能在這20個(gè)點(diǎn)中選取的正多邊形的個(gè)數(shù)有

1. A.
   4個(gè)
2. B.
   8個(gè)
3. C.
   12個(gè)
4. D.
   24個(gè)

Answer 1

C
分析：正多邊形，每邊都相等，因?yàn)橛?0個(gè)等分點(diǎn)，所以邊數(shù)是20的約數(shù)．分解20=2×2×5，約數(shù)有1，2，4，5，10，20共6個(gè)，排除1和2，符合條件的正多邊形共有四種：正四邊形、正五邊形、正十邊形和正二十邊形．
解答：設(shè)正k邊形滿足條件，則除去k個(gè)頂點(diǎn)外的20-k個(gè)點(diǎn)均勻地分布在正k邊形各邊所對(duì)的劣弧上，
于是=-1是整數(shù)，
故是整數(shù)，
但k≥3，
∴k=4或5或10或20．
∴正多邊形的個(gè)數(shù)有+++=12．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正多邊形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是由除去k個(gè)頂點(diǎn)外的20-k個(gè)點(diǎn)均勻地分布在正k邊形各邊所對(duì)的劣弧上，得出邊數(shù)是20的約數(shù)．