Question

如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B．將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角（0°＜a＜90°）得到△OCD（O，A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為O，C，D），將△OAB沿軸負(fù)方向平移m個(gè)單位得到△EFG（m＞0，O，A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G），a，m的值恰使點(diǎn)C，D，F(xiàn)落在同一反比例函數(shù)(k≠0)的圖象上．

（1）∠AOB=    °，a=   °；

（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，F(xiàn)的拋物線的解析式；

（3）若（2）中拋物線的頂點(diǎn)為M，拋物線與直線EF的另一個(gè)交點(diǎn)為H，拋物線上的點(diǎn)P滿足以P，M，F(xiàn)，A為頂點(diǎn)的四邊形的面積與四邊形MFAH的面積相等（點(diǎn)P不與點(diǎn)H重合），請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，并求位于直線EF上方的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

 

Answer 1

．解：（1）∠AOB= 30 °，a= 60 °．…………………………………………………2分

（2）∵ A，B，△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角得到△OCD，（如圖7）

∴OA=OB=OC=OD=4．

由（1）得 ．

∴ 點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．

∵ 點(diǎn)C，D，F(xiàn)落在同一反比例函數(shù)（k≠0）的圖象上，

∴ ．

∵ 點(diǎn)F是由點(diǎn)A沿軸負(fù)方向平移m個(gè)單位得到，

∴ ，，點(diǎn)F的坐標(biāo)為．……………3分

∴ 點(diǎn)F與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，可設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，F(xiàn)的拋物線的解析式為．

∴   解得

∴ 所求拋物線的解析式為． …………………………………4分

（3）滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為 5 ．………………………………………………5分

           拋物線的頂點(diǎn)為．

           ∵ △EFG是由△OAB沿軸負(fù)方向平移m個(gè)單位得到，

∴ ，，∠FEG=∠AOB=30°．

∴ 點(diǎn)E的坐標(biāo)為．

可得直線EF的解析式為．

∵ 點(diǎn)H的橫坐標(biāo)是方程的解，

整理，得．

解得 ．

∴ 點(diǎn)H的坐標(biāo)為．

由拋物線的對(duì)稱性知符合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)為．……………6分

可知△AFM是等邊三角形，∠MAF= 60°．

由A，M兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A，，

可得直線AM的解析式為．

過(guò)點(diǎn)H作直線AM的平行線l，設(shè)其解析式為（b≠8）．

將點(diǎn)H的坐標(biāo)代入上式，得．

解得，直線l的解析式為．

∵ 直線l與拋物線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程的解．

整理，得．解得．

∴ 點(diǎn)滿足，四邊形的面積與四邊形MFAH的面積相等．（如圖8）……………………………………………7分

           點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)也符合題意，其坐標(biāo)為．………8分

綜上所述，位于直線EF上方的點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為，，

 

解析:略