Question

如圖，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，以O(shè)A為直徑作⊙P，C是⊙P上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的直線y=

3

3

x+2

3

與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)D、點(diǎn)E，連接AC并延長(zhǎng)與y軸相交于點(diǎn)B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4

3

）．
（1）求證：OE=CE；
（2）請(qǐng)判斷直線CD與⊙P位置關(guān)系，證明你的結(jié)論，并請(qǐng)求出⊙P的半徑長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OC，利用已知條件計(jì)算出CE和OB的長(zhǎng)度，再證明△BCO為直角三角形，利用：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可證明OE=CE；
（2）①直線CD是⊙P的切線，證明PC⊥CD．②設(shè)⊙P的半徑為r，則在Rt△PCD中，由勾股定理得到關(guān)于r的方程，求出r即可．

解答：解：（1）證明：連接OC，
∵直線y=

3

3

x+2

3

與y軸相交于點(diǎn)E，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，2

3

），即OE=2

3

．
又∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4

3

），
∴OB=4

3

，
∴BE=OE=2

3

，
又∵OA是⊙P的直徑，
∴∠ACO=90°，即OC⊥AB，
∴OE=CE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）

（2）直線CD是⊙P的切線．
①證明：連接PC、PE，由①可知：OE=CE．
在△POE和△PCE，

PO=PC PE=PE OE=CE

，
∴△POE≌△PCE，
∴∠POE=∠PCE．
又∵x軸⊥y軸，
∴∠POE=∠PCE=90°，
∴PC⊥CE，即：PC⊥CD．
又∵直線CD經(jīng)過(guò)半徑PC的外端點(diǎn)C，
∴直線CD是⊙P的切線；
②∵對(duì)y=

3

3

x+2

3

，當(dāng)y=0時(shí)，x=-6，即OD=6，
在Rt△DOE中，DE=

OD2+OE2

=

62+(2 3 )2

=4

3

，
∴CD=DE+EC=DE+OE=4

3

+2

3

=6

3

．
設(shè)⊙P的半徑為r，則在Rt△PCD中，由勾股定理知PC²+CD²=PD²，
即 r²+（6

3

）²=（6+r）²，
解得 r=6，即⊙P的半徑長(zhǎng)為6．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了切線的性質(zhì)、判定定理、勾股定理以及直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，具有較強(qiáng)的綜合性，有一定的難度．