Question

已知一元二次方程x²-kx+2（k-3）=0，是否存在實數k，使方程的兩個實數根的平方和為9，如果存在，求k的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：根據題意，可知（x₁+x₂）²-2x₁x₂=9，根據根與系數的關系，即可求出關于k的一元二次方程，通過解方程即可求得k的值；根據根的判別式即可判別方程是否有兩個不相等的實數根．
解答：設方程的兩個實數根為x₁、x₂，那么x₁²+x₂²=9
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=9（2分）
由題意得：x₁+x₂=k，x=2k-6（2分）
∴k²-4k+12=9，k²-4k+3=0（1分）
解得：k₁=1；k₂=3（1分）
由題意得：△=b²-4ac=k²-4×2（k-3）=k²-8k+24=（k-4）²+8（2分）
∵（k-4）²≥0，∴（k-4）²+8＞0，即△＞0（2分）
∴不論k取任何實數，方程有兩個不同的實數根；（1分）
∴當k₁=1或是k₂=3時，方程的兩個實數根的平方和為9．（1分）
點評：本題主要考查根與系數的關系、根的判別式，關鍵在于求出關于k的一元二次方程，求解．