Question

如圖1，邊長(zhǎng)均為6的正△ABC和正△A′B′C′原來(lái)完全重合．如圖2，現(xiàn)保持正△ABC不動(dòng)，使正△A′B′C′繞兩個(gè)正三角形的公共中心點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為α（α＞0°）．（注：除第 （3）題中的第②問(wèn)，其余各問(wèn)只要直接給出結(jié)果即可）
（1）當(dāng)α多少時(shí)，正△A′B′C′與正△ABC出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的第一次完全重合？
（2）當(dāng)0°＜α＜360°時(shí)，要使正△A′B′C′與正△ABC重疊部分面積最小，α可以取哪些角度？
（3）旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖3，正△ABC和正△A′B′C′始終具有公共的外接圓⊙O．當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，記正△A′B′C′與正△ABC重疊部分為六邊形DEFGHI．當(dāng)α在這個(gè)范圍內(nèi)變化時(shí)，
①求△ADI面積S相應(yīng)的變化范圍；
②△ADI的周長(zhǎng)是否一定？說(shuō)出你的理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)楫?dāng)B′與A重合時(shí)正△A'B'C'與正△ABC出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的第一次完全重合，故α=120°；
（2）當(dāng)△A′B′C′中任意一條邊與△ABC平行時(shí)重疊部分面積最小，由（1）可知當(dāng)B′與A重合時(shí)正△A'B'C'與正△ABC出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的第一次完全重合時(shí)α=60°，所以當(dāng)α=60°、180°或300°時(shí)重疊部分面積最小；
（3）①由于兩三角形的邊長(zhǎng)均為6，所以當(dāng)A′B′∥BC時(shí)，△ADI為等邊三角形，所以ID=2，所以S_△ADI=

1

2

ID•AI•sin60°=

1

2

×2×2×

3

2

=

3

，進(jìn)而可得出結(jié)論；
②連接AB′，根據(jù)AB=A'B'，可得出

AB

=

A′B′

，再根據(jù)圓周角定理即可得出IA=IB'，DA=DA'，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵當(dāng)B′與A重合時(shí)正△A'B'C'與正△ABC出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的第一次完全重合，此時(shí)點(diǎn)A′與C重合，旋轉(zhuǎn)角度α=180°-60°=120°，
∴當(dāng)α=120°時(shí)，正△A'B'C'與正△ABC
出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的第一次完全重合；（2分）


（2）當(dāng)△A′B′C′中任意一條邊與△ABC平行時(shí)重疊部分面積最小，
∵由（1）可知當(dāng)B′與A重合時(shí)正△A'B'C'與正△ABC出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的第一次完全重合時(shí)α=60°，
∴當(dāng)α=60°、180°或300°時(shí)重疊部分面積最��；

（3）①∵兩三角形的邊長(zhǎng)均為6，
∴當(dāng)A′B′∥BC時(shí)，∠ADI為等邊三角形，
∴ID=2，
∴S_△ADI=

1

2

ID•AI•sin60°=

1

2

×2×2×

3

2

=

3

，
∴△ADI面積S相應(yīng)的變化范圍為：0＜S＜

3

（7分）
②△ADI的周長(zhǎng)一定；理由如下：
連接AB′，∵AB=A'B'，
∴

AB

=

A′B′

，
∴

BB′

=

AA′

，（9分）
∴∠IAB'=∠IB'A，
∴IA=IB'，
同理，DA=DA'，（11分）
∴△ADI的周長(zhǎng)：IA+ID+DA=IB'+ID+DA'=A'B'=6．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、圓心角、弧、弦的關(guān)系，涉及面較廣，難度較大．