【題目】如圖,在銳角△ABC中,BC=10,高AD=8,矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上,E、F兩點分別在AB、AC上,AD交EF于點H.

(1)求證: = ;
(2)設EF的長為x.
①當x為何值時,矩形EFPQ為正方形?
②當x為何值時,矩形EFPQ的面積最大?并求其最大值.

【答案】
(1)

解:證明:∵四邊形EFPQ是矩形,

∴EF∥BC,

∴△AEF∽△ABC,∠AHF=∠ADC,

又∵AD是高,

∴∠AHF=∠ADC=90°,即AH是△AEF的高.


(2)

解:①若矩形EFPQ為正方形,則HD=EQ=EF=x.

∴AH=AD﹣HD=8﹣x.

又∵ ,BC=10,

解得

∴當 時,矩形EFPQ為正方形;

②∵HD=EQ,AD=8,

∴AH=AD﹣HD=8﹣EQ.

又∵ ,EF=x,BC=10,

∴S矩形EFPQ=

∵S矩形EFPQ= (0<x<10),

∴當x=5時,S矩形EFPQ有最大值為20.

∴當x=5時,矩形EFPQ的面積最大,最大面積為20


【解析】(1)根據(jù)矩形的性質得出EQ=HD=FP,EF∥BC,推出△AEF∽△ABC,根據(jù)相似三角形的性質推出即可;(2)①根據(jù)正方形的性質可知HD=EQ=EF,令HD=EQ=EF=x;利用相似三角形的性質可得 ,可得x的值;②根據(jù)矩形的面積公式,可以把面積表示成關于EF的長的函數(shù),根據(jù)函數(shù)的性質即可求解.
【考點精析】掌握關于仰角俯角問題是解答本題的根本,需要知道仰角:視線在水平線上方的角;俯角:視線在水平線下方的角.

練習冊系列答案
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【題目】如圖,點C、D分別在扇形AOB的半徑OA、OB的延長線上,且OA=3,AC=3 ﹣3,CD∥AB,并與弧AB相交于點M、N.
(1)求線段OD的長;
(2)若sin∠C= ,求弦MN的長;
(3)在(2)的條件下,求優(yōu)弧MEN的長度.

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【題目】定義:長寬比為:1(n為正整數(shù))的矩形稱為矩形.
下面,我們通過折疊的方式折出一個矩形,如圖①所示.
操作1:將正方形ABCD沿過點B的直線折疊,使折疊后的點C落在對角線BD上的點G處,折痕為BH.
操作2:將AD沿過點G的直線折疊,使點A,點D分別落在邊AB,CD上,折痕為EF.
則四邊形BCEF為矩形.
證明:設正方形ABCD的邊長為1,則BD==
由折疊性質可知BG=BC=1,∠AFE=∠BFE=90°,則四邊形BCEF為矩形.
∴∠A=∠BFE.
∴EF∥AD.
=,即=
∴BF=
∴BC:BF=1:=:1.
∴四邊形BCEF為矩形.
閱讀以上內(nèi)容,回答下列問題:
(1)在圖①中,所有與CH相等的線段是 ,tan∠HBC的值是 ;

(2)已知四邊形BCEF為矩形,模仿上述操作,得到四邊形BCMN,如圖②,求證:四邊形BCMN是矩形;
(3)將圖②中的矩形BCMN沿用(2)中的方式操作3次后,得到一個“矩形”,則n的值是 .

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【題目】如圖,在下列解答中,填寫適當?shù)睦碛苫驍?shù)學式:

(1)∵ ∠ABD=∠CDB, ( 已知

. (

(2)∵ ∠ADC+∠DCB=180°, ( 已知

. (

(3)∵ ADBE, ( 已知

∴ ∠DCE=∠ . (

(4)∵ , ( 已知

∴ ∠BAE=∠CFE. (

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【題目】某手機經(jīng)銷商計劃同時購進一批甲、乙兩種型號手機,若購進2部甲型號手機和5部乙型號手機,共需資金6000元;若購進3部甲型號手機和2部乙型號手機,共需資金4600元.

(1)求甲、乙型號手機每部進價多少元?

(2)為了提高利潤,該店計劃購進甲、乙型號手機銷售,預計用不多于1.8萬元且不少于1.76萬元的資金購進這兩種手機共20部,請問有幾種進貨方案?

(3)若甲型號手機的售價為1500元,乙型號手機的售價為1400元,為了促銷,公司決定每售出一部乙型號手機,返還顧客現(xiàn)金a元;而甲型號手機售價不變,要使(2)中所有方案獲利相同,求a的值.

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【題目】某校招聘一名數(shù)學老師,對應聘者分別進行了教學能力、科研能力和組織能力三項測試,其中甲、乙兩名應聘者的成績?nèi)缬冶恚海▎挝唬悍郑?/span>

教學能力

科研能力

組織能力

81

85

86

92

80

74

(1)若根據(jù)三項測試的平均成績在甲、乙兩人中錄用一人,那么誰將被錄用?

(2)根據(jù)實際需要,學校將教學、科研和組織能力三項測試得分按 5:3:2 的比確定每人的最后成績,若按此成績在甲、乙兩人中錄用一人,誰將被錄用?

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(1)求證:PA是⊙O的切線;
(2)過點C作CF⊥AD,垂足為點F,延長CF交AB于點G,若AGAB=12,求AC的長;

(3)在滿足(2)的條件下,若AF:FD=1:2,GF=1,求⊙O的半徑及sin∠ACE的值.

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