Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2

15

，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，AF與DE，DB分別交于點(diǎn)M，N，則△DMN的面積是（　�。�

• A、8
• B、12
• C、

  15

• D、15

Answer 1

考點(diǎn)：平行線分線段成比例,正方形的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)以及中點(diǎn)的定義得到AD=AB=2

15

，AE=BF=

15

，利用勾股定理計(jì)算出DE=AF=5

3

，易證得△ADE≌△BAF，得到∠ADE=∠BAF，則有∠ADM+∠DAM=90°，利用面積相等得到AM•DE=AE•AD，可到AM=2

3

，再根據(jù)勾股定理計(jì)算DM=4

3

，由AD∥CB，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到AN：NF=AD：BF=2：1，于是AN=

2

3

AF=

10 3

3

，然后利用S_△DMN=S_△AND-S_△AMD進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2

15

，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，
∴AD=AB=2

15

，AE=BF=

15

，
∴DE=AF=

(2 15 )2+( 15 )2

=5

3

，
在△ADE和△BAF中

AD=AB ∠EAD=∠FBA AE=BF

，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE=∠BAF，
而∠BAF+∠DAM=90°，
∴∠ADM+∠DAM=90°，
∴AM•DE=AE•AD，即AM×5

3

=

15

×2

15

，
∴AM=2

3

，
∴DM=

AD2-AM2

=4

3

，
∵AD∥CB，
∴AN：NF=AD：BF=2：1，
∴AN=

2

3

AF=

10 3

3

，
∴S_△DMN=S_△AND-S_△AMD=

1

2

×4

3

×

10 3

3

-

1

2

×4

3

×2

3

=8．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，截得的線段對(duì)應(yīng)成比例．也考查了正方形的性質(zhì)以及勾股定理．